Matekházi segítség?

1) 16 szomszédos szám között biztosan van 8 páros és 8 páratlan, így az összeg mindenképp páros. Egyetlen páros prímszámot ismerünk, és az a 2. Legyen a szomszédos számok között a legkisebb x, ekkor a többi szám x+1, x+2, ..., x+15, ezek összege kell, hogy 2 legyen:

x + x+1 + ... + x+15 = 2, ennek az egyenletnek nem egész a megoldása, tehát 16 szomszédos szám összege nem lehet prímszám. (Ha negatív prímszámokat is megengedünk, akkor a -2-vel kell ugyanezt eljátszani, de arra sem kapunk megoldást.)

2/1) Érdemes p+5-ből kiindulni; ha páratlan számot adunk hozzá, akkor az eredmény páros lesz, így csak páros számot adhatunk hozzá, vagyis a 2-t, ekkor viszont 10+2=12 nem prímszám, tehát ezek sosem lesznek egyszerre prímszámok (ha negatív prímeket is megengedünk, akkor p=-3 lesz az egyedüli megoldás).

2/2) Könnyen észrevehető, hogy p=3 megoldás lesz. Több megoldás azért nem lesz, mivel a 10 3-as maradéka 1, míg a 14-é 2, így ha ezekhez nem 3-mal osztható számot adunk, akkor valamelyikük osztható lesz 3-mal, így nem lehet prímszám, legfeljebb akkor, hogyha valamelyik ezek közül 3 vagy -3, így

vagy p=3, ezt leírtam

vagy p+10=3, vagyis p=-7, ezekre prímeket kapunk

vagy p+14=3, vagyis p=-11, de -11+10=-1 nem prím

vagy p=-3, ez is jó lesz

vagy p+10=-3, vagyis p=-13, de -13+14=1 nem prím

vagy p+14=-3, vagyis p=-17,

de a p=3 esetet kivéve a többi csak akkor lehet jó, hogyha negatív prímek is megengedettek.

2/3) Itt is a 3-mal való oszthatóságé a főszerep; látható, hogy p=3 és p=-3 megoldás lesz, ezen kívül p 3k+1 vagy 3k+2 alakú;

ha p=3k+1, akkor (3k+1)^2+2 = 9k^2+6k+1+2 = 9k^2+6k+3 láthatóan osztható 3-mal

ha p=3k+2, akkor (3k+2)^2 = 9k^2+12k+4+2 = 9k^2+12k+6 szintén 3-mal osztható, így csak akkor lehet prím, hogyha 3-mal vagy -3-mal egyenlő, tehát ezt a 4 egyenletet kell még megoldani:

9k^2+6k+3 = 3

9k^2+6k+3 = -3

9k^2+12k+6 = 3

9k^2+12k+6 = -3, és megnézni, hogy a kapott k értékekre mikor lesz p prím, de ha csak pozitív prímek játszanak, akkor csak a p=3 lesz megoldás.

1.)

p = x+0 + x+1 + x+2 + x+3 + x+4 + x+5 + x+6 + x+7 + x+8 + x+9 + x+10 + x+11 + x+12 + x+13 + x+14 + x+15

p = 16*x + 120

Ha bármilyen x számot megszorzunk egy páros számmal (16-tal), akkor mindig páros számot kapunk eredményül.

Ha egy páros számhoz hozzáadunk még egy páros számot (120-at), akkor mindig páros számot kapunk eredményül.

Mivel az eredmény mindig páros szám lesz, és a páros számok nem prímszámok, ezért nem lehet 16 szomszédos szám összege prímszám.

2.)

p, p+5, p+10 - Egyik prímszámra se igaz.

p, p+10, p+14 - Erre a prímszámra igaz: 3

p, p^2+2 - Erre a prímszámra igaz: 3