Meg tudnátok oldani az alábbi feladatot? Adott k (x+1) ²+ (y-3) ² =9 T[-1;6]. Írd le a t érintő egyenletét a T érintési pontban

Hát pl. úgy, hogy definiáljuk két egyens bezárt szögét, legyen ez most ß. Legyen adva az e és g egyenesek, ekkor a ß hajlásszögön azt a szöget értjük, amellyel a g egyenes az e egyenesbe pozitív forgási értelemben átvihető.

Az e egyenes egyenlete legyen y=m1*x+b1, és g egyenlete pedig y=m2*x+b2, ahol m1=tg(a1) és m2=tg(a2). Tehát a két egyenes által bezárt szög ß=a1-a2, és ennek tangense:

tg(ß)=tg(a1-a2)=[tg(a1)-tg(a2)]/(1+tg(a1)*tg(a2)). Vagyis m1 és m2 behelyettesítésével:

tg(ß)=(m1-m2)/(1+m1*m2).

Ennek reciprokát véve:

ctg(ß)=(1+m1*m2)/(m1-m2).

Ebből látjuk, ha 1+m1*m2=0, vagyis ha m2 nem azonosan eltűnő, akkor m1=-1/m2 esetén ctg(ß)=0, amiből ß=pi/2, tehát a két egyenes merőleges egymásra.

Megfordítva: ha két egyenes merőleges egymásra, akkor a1=90°+a2, és így m1=tg(a1)=tg(90°+a2)=-ctg(a2)=-1/tg(a2)=-1/m2.

Tehát a merőlegesség feltétele m1=-1/m2, azaz a meredekségek egymásnak negatív reciproka.

Mindenféle normál -és irányvektoros túlbonyolítás nélkül ez önként adódik.

Én még annak idején az Obádovics-féle könyvből így tanultam.

Az addíciós tételeket se tanítják középszinten.

Persze, meg lehet így is oldani, csak felmerül a kérdés, hogy nem éri-e meg esetleg jobban az, hogy bevezetjük a vektorokat, és akkor kb. 3 sorban lehet bizonyítani a merőlegesség feltételét? És itt nem a skaláris szorzatos bizonyításra gondolok.

"Az addíciós tételeket se tanítják középszinten."

Hát ezt szomorúan hallom. Nem tudom, hová süllyedhet még az oktatási szinvonal.

Egyre többet hallom manapság, hogy most már ezt sem kell tudni, meg azt sem.

"Persze, meg lehet így is oldani, csak felmerül a kérdés, hogy nem éri-e meg esetleg jobban az, hogy bevezetjük a vektorokat, és akkor kb. 3 sorban lehet bizonyítani a merőlegesség feltételét?"

Nem tudom, megéri -e, vagy nem. De szerintem ha be is vezetik a vektorokat középiskolai szinten, nem érti senki.

A vektor egy sokkal absztraktabb fogalom. Lehet, hogy a számítási mechanizmust betanulják sokan, ki is tudják számítani, de a mögöttes tartalmat nem értik.

Ezzel szemben a meredekség sokkal jobban kézelfoghatóbb bárki számára. Még a kresszben is egy lejtőre kiírják hogy mondjuk 10%-os, ezt értik az emberek. De a vektor, az egy külön világ. Magasabb dimenziókról meg nem is beszélve...

"Jobban meggondolva alap geometriai eszközökkel és a meredekség definíciójával is könnyedén belátható, elég csak venni két darab egybevágó derékszögű háromszöget."

Ezt esetleg részletezhetnéd, hogy én is tanuljak valamit.

Mellesleg az addíciós tételek is levezethetők elemi geometriából. (meg Persze vektorokkal is).

Persze, minden levezethető; az axiómákon kívül nem nagyon van olyan a matematikában, amit ne lehetne levezetni.

Gondolom ismered a Pitagorasz-tételnek azt a bizonyítását, amikor veszünk 4 darab egybevágó derékszögű háromszöget és körberakjuk őket, ezzel kapva két négyzetet (kívül és belül). Ezt fogom itt kihasználni.

Az egyszerűség kedvéért "csalok" egy kicsit, és azt mondom, hogy ha van két egyenesünk, amelyek merőlegesen metszik egymást, akkor úgy vegyük fel hozzájuk a koordináta-rendszert, hogy annak origója a metszéspontba kerüljön, de a tengelyek ne essenek az egyenesekre (értelemszerűen ez nem befolyásolja a merőlegességet). Ez azért jó nekünk, mert az egyenesek megadhatóak y=mx és y=Mx alakban, ahol m és M az egyenesek meredekségei, tehát valós számok. Az egyszerűség kedvéért legyen m pozitív, ekkor mx pozitív helyettesítési értékei pozitívak lesznek (ekkor M triviálisan negatív lesz). Ha beírjuk x helyére az 1-et, akkor y=m-et kapjuk így az (1;m) pontot kell jelölnünk az egyenesen. Ha ebből a pontból merőlegest állítunk az x-tengelyre, akkor az egyenes alatt egy derékszögű háromszög keletkezik. Ha az egyenes x-tengellyel vett hajlásszöge Ł, akkor a háromszög másik hegyesszöge 90°-Ł nagyságú lesz (lévén a belső szögek összege 180°), a derékszögű háromszög vízszintes befogójának hossza 1 egység, függőleges befogója m egység hosszú.

Most nézzük a másik egyenest; ez az egyenes 90°-Ł nagyságú szöget zár be az x-tengellyel (és itt most a közrezárt szög definícióját kell érteni alatta, nem pedig az irányszöget), és ha az előző módon itt is képzünk egy derékszögű háromszöget, akkor annak másik hegyesszöge Ł nagyságú lesz, vagyis hasonló az előbbi háromszöghöz. Mi azt szeretnénk, hogyha egybevágó is lenne; az Ł szöggel szemközti oldal nagysága m volt, ezt a hosszt úgy tudjuk elérni a II. síknegyedben, hogyha x helyére -m-et írunk, ekkor a helyettesítési érték M*(-m) lesz, tehát a (-m;M*(-m)) pontot jelöljük az egyenesen, értelemszerűen ez M*(-m) távolságra van az x-tengelytől, tehát a derékszögű háromszög függőleges befogója ilyen hosszú. Azonban ennek 1 hosszúnak kell lennie, mivel az előbbi háromszöggel egybevágó ez a háromszög, annak viszont a másik befogója 1 hosszú, ezért értelemszerűen adódik, hogy

M*(-m)=1, erre pedig az M=-1/m megoldást kapjuk, és ezt is kellett bizonyítani.

Nem tudom, hogy mennyire érthető, rajzzal talán jobban átlátható.

A visszairányt, ennek fényében, már nem túl bonyolult bizonyítani.

Az írás közben rájöttem egy másik bizonyításra, ehhez a magasságtétel kell (illetve nem kell, de azzal nem kell annyit számolni);

Kezdjük ugyanúgy, mint az előbb, tehát felvesszük a metszéspontba a koordináta-rendszert, ekkor mx és Mx az egyenesek, viszont most csak az x=1 helyettesítési értékre koncentráljunk; az első esetben m lesz, a másodikban M, így a helyettesítési érték pontjai |m| és |M| távolságra lesznek az x-tengelytől. Ha összekötjük a két pontot, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk, amelynek átfogóját húztuk így be, akkor viszont az origó és a helyettesített szám, vagyis a [0;1] intervallum által meghatározott 1 hosszú szakasz a derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága lesz, ami az átfogót |m| és |M| részre osztja, így a magasságtétel értelmében |m|*|M|=1. Mivel m pozitív, ezért |m|=m, és mivel M negatív, ezért |M|=-M, tehát m*(-M)=1, erre M=-1/m adódik.

Ennél a szemléletnél a visszairányra elég csak a Pitagorasz-tételt felírni.