Ez egy régi KöMaL feladat. Valaki a megoldást tudja?

Legyen a merőleges t, a talppontja, vagyis az AP egyenessel vett metszéspontja T.

Ekkor az PTB irányított szög nagysága független a P pont helyzetétől a körön, így az ATB irányított szögé is. (mod 180°)

T mértani helye így részhalmaza az AB szakasz egy látókörének. Fordítva elvégezve a konstrukciót, nem nehéz megmutatni, hogy annak minden pontja előáll valamilyen P-re, tehát egy, A és B pontokon átmenő kör lesz a mértani hely. (Esetleg, ha P=A esetén nem értelmezzük a konstrukciót, akkor 1 ponttal kevesebb. Ha P=A esetén az AP egyenesnek a kör A-beli érintőjét választjuk, akkor lesz teljes kör a mértani hely.)

Egy dinamikus ábra a feladat megoldásához:

[link]

Sziasztok!

Kedves kérdező, mondanám az én megoldásom.

A linken találsz egy ábrát, azon magyaráznék:

[link]

Pirossal rajzoltam az eredeti kört, rajta az A és B pontokat, valamint P pontot egy tetszőleges pozíciójában.

A kör középpontja O1 pont, sugara r.

BP szakasz felezőpontja legyen F1.

AB szakasz felezőpontja legyen F2.

Mint fent is említették, az A_O1_B szög középponti, az APB szög pedig kerületi szöge AB szakaznak, azaz a kerületi és középponti szögek tétele alapján A_O1_B szög = 2 * APB szög, és APB szög ezáltal P pont helyétől független értéket vesz fel, ez legyen alfa. Ekkor A_O1_B szög = 2 * alfa, és mivel F2_O1 szakasz AB szakasznak felezőmerőlegese, F2_O1_B szög = alfa (ami mint mondtuk P helyétől független).

F1 pontból állítunk merőlegest az AP szakaszra (illetve precízebben annak egyenesére), így kapjuk meg a T talppontot, melynek helyét vizsgáljuk.

F2_O1_B derékszögű háromszögben Pit-tételt felírva és kihasználva, hogy AB = 2 * F2_B,

a következő összefüggést kaphatjuk:

F2_O1 = (r^2 - (AB^2)/4)^0.5

Ez az összefüggés kell majd később, nevezzük (1)-es összefüggésnek.

F2_O1_B és T_P_F1 háromszögek hasonlóak, mert szögeik azonosak, ebből az összefüggés:

TP / F1_P = F2_O1 / r.

Kihasználva az imént kapott összefüggést F2_O1 -re, valamint hogy BP = 2 * F1_P,

a következőt kapjuk:

TP / BP = [1 - (AB^2) / (4 * r^2)]^0.5 / 2

Ez az összefüggés kell majd később, nevezzük (2)-es összefüggésnek.

Nézzük a kék vonalakat:

Felveszek egy kört (k2 kör), ami átmegy A, B és T pontokon.

Ennek középpontja legyen O2.

O2 pont egyenlő távolságra (sugárnyira) van A és B pontoktól, vagyis AB szakasz felezőmerőlegesére illeszkedik csakúgy, mint az O1 pont, azaz O1, O2 és F2 pontok egy egyenesre esnek.

az A_O2_B szög középponti, az ATB szög pedig kerületi szöge AB szakaznak, azaz a kerületi és középponti szögek tétele alapján A_O2_B szög = 2 * ATB szög, és ATB szög ezáltal T pont helyétől független értéket vesz fel, ez legyen béta. Ekkor A_O2_B szög = 2 * béta, és mivel F2_O1 szakasz AB szakasznak felezőmerőlegese, F2_O2_B szög = béta.

Vegyük észre, hogy O1_O2_B és TPB háromszögek hasonlók, hisz mindkettőnek van egy alfa szöge, egy 180°-béta szöge (és ez alapján a harmadik szögeik is azonosak).

Felírhatjuk a hasonlóságot az alfa szögek száraira:

O1_O2 / r = TP / PB,

és felhasználva az (2)-es összefüggést, valamint r-rel beszorozva mindkét oldalt a következőt kapjuk:

O1_O2 = [r^2 - AB^2 / 4]^0.5 / 2

Ha visszatekintünk az (1)-es összefüggésre, láthatjuk, hogy O1_O2 = F2_O1 / 2

azaz A k2 kör középpontja félúton van a k1 kör középpontja és AB szakasz felezőpontja között, és ez csakis az A, B pontok távolságától, valamint k1 kör sugarától függ, P pont helyzetétől nem. Ez annyit tesz, bárhol is van P pont, T pont helye változni fog, de az A, B és T pontokra illeszthető kör mindig ugyanaz marad.

Bizonyíthatóan a két kör pontjai között kölcsönösen egyértelmű leképezés van, azaz miként P pont bejárja k1 körvonalat, T pont a k2 körvonalat járja be, vagyis a kérdésre adott válasz: a talppont mértani helye egy olyan O2 középpontú kör, amely átmegy A és B pontokon, és ahol O2 az eredeti kör középpontja és AB szakasz felezőpontja által alkotott szakasz felezőpontja.

Ha k2 kör sugarát is meg szeretnénk adni, azt az F2_O2_b háromszögben felírt Pit-tétellel tudjuk, miszerint:

R = [3 * AB^2 / 4 + r^2]^0.5 / 2

Érdekességképp: Ha AB szakasz k1 átmérője, akkor k1 és k2 pont egybeesznek, egyébként k2 sugara mindig kisebb, mint k2 sugara.

Szép napot!