Az n-1/n n∈N+ halmaz miért zárt?

Nem zárt. (Egyébként hol nem zárt? Nyilván a valós számok szokásos topológiájára gondolsz, de nem írod.) Az 1 határpontja, de nem eleme.

Te ezt azért nem látod magadtól, mert szerinted "a definíció valahogy úgy szól "lebutítva", [...]". Csak akkor tudod valamiről eldönteni hogy igaz-e rá egy állítás, ha pontosan tudod, mi az az állítás. Egyébként próbálkozni is kár.

Amit leírtam definíciót az szerintem nem mond ellent a wikipédiás linkeknek.

De egyébként már rögtön az 1-et behelyettesítve "n" helyére láthatod, hogy az osztás végeredménye (0/1 = 0) kivezet a halmazból, szóval az állításod hamis, mert ez egy nyílt halmaz.

n-1/n halmaz első néhány pontja:

1-1/0, 2-1/2, 3-1/3 stb.

Nyílt-e ez a halmaz a számegyenesen? Nyilván nem, mert 1+-epszilon már nincs a halmazban.

Zárt-e ez a halmaz a számegyenesen? Mivel diszkrét pontokból áll, amik elég messze vannak egymástól így feltehetőleg igen.

Bizonyítsuk be, hogy a komplementere nyílt:

Vegyük egy tetszőleges x számot ami nincs benne a halmazban.

Ha x<1 akkor x+-epszilon is kívül van a halmazon, azaz belül marad a komplementerben.

Ha 1<x közötti szám, akkor mivel a(i) tart a végtelenbe, így létehozik i index, hogy

a(i)<x<a(i+1)

Ekkor létezik olyan epszilon, hogy

a(i)<x-epszilon<x<x+epszilon<a(i+1)

Méghozzá epszilon = x-a(i) és a(i+1)-x közül a kisebbnél egy picit még kisebb

mondjuk epszilon = min ([x-a(i)]/2 ; [a(i+1)-x]/2) biztosan jó.

Nézzük a másikat:

(3n-1)/n = 3-1/n

Első pár tag:

3-1/1, 3-1/2, 3-1/3 stb.

Ennek a sorozatnak minden értéke 2 és 3 közé esik és tetszőlegesen megközelíti a 3-mat. A 3 felé haladva sokasodnak a halmaz pontjai.

Nyílt ez a halmaz? Nyilván nem, mert 2+-epszilon már nincs a halmazban.

Zártsághoz be kell látnunk, hogy a komplementere nyílt.

A 3 nincs benne a halmazban.

A 3-hoz veszük egy tetszőleges epszilon környezetet, akkor azt látjuk, hogy létezik olyan i index, hogy

a(i)>3-epszilon. Tehát a komplementere nem nyílt a halmaznak.

Emiatt ez a halmaz se nem nyílt se nem zárt.