Hatátozd meg a^3+b^3+c^3-3abc értékét, ha (a+b) /c= (b+c) /a= (a+c) /b!?

(a+b) /c= (b+c) /a= (a+c) /b ez azt jelenti hogy a = b = c

b es c helyere a-t helyettesitve 0-t kapsz

Triviális megoldás; ha a=b=c=/=0, akkor a feltétel teljesül, ekkor a kifejezés értéke 0.

Szóba jöhet még az, hogy csak valamelyik kettő egyenlő egymással, például a=b=/=0, ekkor ennek kell teljesülnie:

(a+a)/c = (a+c)/a = (a+c)/a, vagyis

(2a)/c = (a+c)/a, szorzunk a nevezőkkel:

2a^2 = ac + c^2, redukáljuk a bal oldalt 0-ra:

0 = ac + c^2 - 2a^2, írjuk át így a jobb oldalt:

0 = c^2 - a^2 + ac - a^2, az első két tagra használjuk az ismert azonosságot, a másik kettőből kiemeljük a-t:

0 = (c+a)*(c-a) + a*(c-a), így (c-a)-t is ki tudunk emelni:

0 = (c-a)*(c+a+a), vagyis

0 = (c-a)*(c+2a)

Egy szorzat értéke akkor 0, hogyha valamelyik tényezője 0, így

vagy c=a, ami nem lehet, mert akkor a=b=c, amit kizártunk

vagy c=-2a, ekkor ezt kell kiszámolnunk:

a^3+a^3+(-2a)^3-3*a*a*(-2a), ennek az eredménye is 0 lesz.

Ha mindhárom különbözik, akkor nem lesz megoldás; tegyük fel, hogy a<b<c, akkor a (b+c)/a értéke több, mint 2, ugyanezt az (a+b)/c nem tudja, mivel a 2-t nem haladja meg sose. Ugyanezt végig lehet zongorázni az összes feltevésre (tehát ha a<c<b, ha b<a<c, stb.).