Ezt hogyan kell kiszámolni?

A bal oldal "hajaz" az (a+b+c)^2-re. Nézzük meg, hogy mi kellene ahhoz, hogy ez teljesüljön, ehhez bontsuk ki a zárójelet:

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

Ha ezt berakjuk a bal oldalra, akkor kicsit korrigálni kell, hogy ne változzon. Ekkor ezt kapjuk:

(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca+3abc < 9

A feltétel miatt (a+b+c)^2=3^2=9, így

9-2ab-2bc-2ca+3abc < 9, rendezés után

3abc < 2ab + 2bc + 2ca adódik.

Most osszuk el az egyenlőtlenséggel 3-mal, mindjárt látjuk, hogy ennek miért van jelentősége:

abc < (2ab+2bc+2ca)/3

A jobb oldalon így 2ab, 2bc és 2ca számtani közepe jelent meg, amiről tudjuk, hogy mindig legalább akkora, mint mértani közepük, tehát ezt írhatjuk fel:

abc < köbgyök(2ab*2bc*2ca)

Ha erről be tudjuk látni, hogy mindig igaz, akkor az eredetire is igaz lesz (például ha azt kellene belátni, hogy 3<5, de csak azt tudjuk, hogy 3<4 és 4<5, akkor az 5-öt 4-re csökkentve a 3<4 egyenlőtlenséget kapjuk, amiről tudjuk, hogy igaz, ezért a 3<5 is teljesülni fog).

Emeljük 3. hatványra az egyenlőtlenséget:

a^3*b^3*c^3 < 8a^2*b^2*c^2, osztás után

a*b*c < 8 adódik, ez pedig már triviálisan igaz; azt mondtuk, hogy mindegyik értéke legfeljebb 2 lehet. Ha mindegyik 2 lenne, akkor a*b*c=8 lenne a bal oldalon, azonban mindhárom nem lehet egyszerre 2, legfeljebb csak az egyik, mivelhogy ha legalább két 2-es lenne a betűk között, akkor a+b+c értéke nagyobb lenne 4-nél, így már 3 nem lehetne. Ez azt jelenti, hogy a<2, b<2 és c<=2, így a*b*c<2*2*2, és azt kellett belátni.