Függvények, lineáris e vagy sem?

Felteszem, hogy csak véletlenül ütöttél kétszer hatványjelet, tehát a függvényed:

(5x^2+950x)/1000

Érdemes előbb egyszerűsíteni 5-tel:

(x^2+190x)/200

Kellene tudni, hogy a számológép milyen intervallumon és milyen skálával képes ábrázolni, de a lényeg az, hogy kis x-ekre az x^2 értéke elhanyagolható, így jóformán csak a (190x)/200 jelenik meg a képernyőn, ez pedig egy lineáris függvény.

Másodfokú függvény meredekségét deriválással lehet meghatározni. Olyat tanultál már?

"de a lényeg az, hogy kis x-ekre az x^2 értéke elhanyagolható"

Milyen kis x-ekre? Ha beírsz x-re mondjuk -100-at totál rossz eredményt kapsz ha a kvadratikus tagot nem veszed figyelembe.

De hát hiába mondom én ezt olyannak, aki szerint lapos a Föld...

Másrészt ha el is hagyod az x^2-et az csak egy adott kis környezetben adhat jó közelítést, ehhez első lépés megnézni, hogy a sorfejtés melyik pont körül lenne.

Másrészt abszolútértékben igen nagy x-ekre azaz |x|>>0 esetén is vizsgálható olyan kis tartomány, ahol a fv. jó közelítéssel lineáris. Hogy ezt megkapjuk, ahhoz lényegében a parabola adott pontja körüli elsőfokú Taylor-polinomát kell felírni.

De nyilván az előző válaszolónak erről fogalma nincs, mert csak kihúzza az x^2-et és ő szerinte ez az egész tartomáányon jó lesz.

A linearizálás mindig csak egy adott pont körüli kis környezetben jó, ezt jegyezzük meg örökre.

Számítás a kérdezőnek:

Legyen adva az f:x->a0+a1*x+a2*x^2 parabola, és egy x0 környezetben közelítsük elsőfokú Taylor-polinommal!

Kiszámítjuk a meredekséget az x0 pontban. Geometriailag megfontolható hogy ez

m=a1+2*a2*x0 lesz.

Deriválás nélkül is látható, geometriailag. Ebből is látszik,hogy az előző válaszolónak még az elemi geometria sem megy, az ő módszere az ágyúval galambra lövés...

A lineáris közelítés ekkor:

y(x)=f(x0)+m*(x-x0)

Itt f(x0)=a0+a1*x0+a2*x0^2

Behelyettesítve ezt és a meredekséget:

y(x)=a0+a1*x0+a2*x0^2+[a1+2*a2*x0]*(x-x0)

Ezt hozzuk y(x)=A*x+B alakba!

A=a1+2*a2*x0

B=a0+a1*x0+a2*x0^2-a1*x0-2*a2*x0^2 = a0-a2*x0^2

Tehát

y(x)=(a1+2*a2*x0)*x + a0-a2*x0^2

Ez az általános képlet parabola esetén.

Vizsgáljuk meg a kérdező által megadott alakot! Ott a0=0. Ezért az arra vonatkozó lineáris közelítés egy x0 pont kis környezetében:

y(x)=(a1+2*a2*x0)*x-a2*x0^2

Ebből is látható, hogy a linearizálás nem úgy megy általában,hogy simán kihagyjuk a másodfokú tagot.

Ebben a speciális esetben is csak x0=0-ra igaz ez.

"a megoldókulcs, úgy írta le nekem, hogy két különböző intervallumon megnézte a meredekségét, és nem egyezett ==> nem lineáris"

Így is jó, de szerintem az a legegyszerűbb, ha a megadott függvényt mindig a standard alakra hozzuk. Ha a függvény felírható f(x)=A*x+B alakban, akkor biztosan lineáris.

"én úgy csináltam, hogy megnéztem a zérushelyeit:

az egyik egyértelműen:0 a másik: 0 = (5x^2 + 950x)/1000

==> -190"

Ez is jó módszer, egy harmadik, mert ha lineáris, akkor csak egyetlen zérushely létezik.

"de egyébként akkor ezek szerint deriválás nélkül, nem nézhető meg a meredekség?"

De igen, parabola esetén geometriailag megfontolható.

Kíváncsi leszek, hogy mikor sikerül az értelmes ember szintjére eljutnod... mert egyszerűen már tényleg kritikán aluli, hogy 3 diplomával 3 sort nem tudsz egyben értelmezni, de a leszólás az nagyon megy... meg a hazugsággyártás...

"Milyen kis x-ekre? Ha beírsz x-re mondjuk -100-at totál rossz eredményt kapsz ha a kvadratikus tagot nem veszed figyelembe."

Mint általában, "kis x" alatt a 0-hoz közeli értékeket szoktuk érteni... Példának okáért azt is szokták mondani, hogy "megfelelő kis x-ekre" mondhatjuk, hogy sin(x)=x. Itt sem a -100-ra gondolnak... De igazából csak megint az van, hogy ha más írta volna így, akkor te rögtön beleláttál volna az elméjébe, és neki helyeselnél, engem meg cseszegetsz...

"De hát hiába mondom én ezt olyannak, aki szerint lapos a Föld..."

Akkor MOST legyél szíves alátámasztani az állításodat valamivel... Más különben az "autista" és a "kretén" jelzők mellé megnyered a "hazudozó" címet is...

"De nyilván az előző válaszolónak erről fogalma nincs, mert csak kihúzza az x^2-et és ő szerinte ez az egész tartomáányon jó lesz."

Ha már úgyis belelendülsz az állításaid alátámasztgatásába, akkor erre is adhatnál bozonyítékot... Mert hogy ilyet sem állítottam, az is biztos...

"Deriválás nélkül is látható, geometriailag. Ebből is látszik,hogy az előző válaszolónak még az elemi geometria sem megy, az ő módszere az ágyúval galambra lövés..."

Hát, ebből maximum csak az autista kretén fejedben látszik ez... Ugyanis az általam leírtakban nincs ott, hogy CSAK ÉS KIZÁRÓLAG így lehetne megoldani... Egyrészt, ha a kérdező már tanulta a deriválást, akkor miért ne lehetne azzal csinálni? Másrészt, te szoktál annyira erősködni, hogy mindent egyféleképpen lehet megoldani, nem én (ami azért nagyon szomorú egy 3 diplomás embertől). Harmadrészt, a "másrészt" után nem "másrészt" jön...

Az pedig csak hab a tortán, hogy szerinted a "deriválás" "ágyúval galambra lövés", a Taylor-sor meg nem...

"Ebből is látható, hogy a linearizálás nem úgy megy általában,hogy simán kihagyjuk a másodfokú tagot."

Megincsak nem állítottam ilyesmit...

Egyébként, én úgy értelmeztem a feladatot (ezek szerint hibásan), hogy azt kell megmutatni, hogy a gép miért lineáris függvényt rajzolt... És ha mondjuk egy [-5;5] intervallumot nézünk, akkor máris jó lesz az okfejtésem... erre írtam azt a részt, amit te ügyesen megint levágtál a mondat elejéről...

[Kellene tudni, hogy a számológép milyen intervallumon és milyen skálával képes ábrázolni, ...]

Mert azért abban még talán te is egyetértesz velem, hogy ha az egészet ábrázolja minél jobb pontossággal, akkor sehogyan sem lesz a képe egyenes...

"Így is jó, de szerintem az a legegyszerűbb, ha a megadott függvényt mindig a standard alakra hozzuk. Ha a függvény felírható f(x)=A*x+B alakban, akkor biztosan lineáris."

Persze... A legegyszerűbb az, hogy 2 oldalt írsz ahelyett, hogy 2 sorban indokolnád...

Jó lenne 5-ös, ha visszavennél magadból, mert nincs mire fent hordanod az orrodat.

"Mint általában, "kis x" alatt a 0-hoz közeli értékeket szoktuk érteni..."

Akkor magyarázd meg, mi az hogy "közeli"? Mivel méred a közelséget?

Mert ha ilyen kifejezéseket használsz, akkor első lépésed kéne legyen bevezetni a metrikus tereket, a topológiai alapfogalmakat, és definiálni kell a távolságfüggvényt.

Az |x|<<1 feltevés is csak speciális esetben vonja maga után hogy helyesen lehessen közelíteni egy alkalmas kicsiny környezetben. És nem jelenti azt, hogy ész nélkül csak kihuzogatunk tagokat, ahogy azt indoklás nélkül tetted.

"mondhatjuk, hogy sin(x)=x"

Ez egy egyenlet, és ha felrajzoltad volna a két függvény képét, akkor látnád, hogy csak x=0-ra igaz.

Ha közelítést akarsz felírni, akkor kerekítési jelet írunk, nem pedig egyenlőség jelet. Vagy ha nem tudsz bemásolni ide közelítő jelet, akkor lehetett volna annyi úristened, hogy a

sin(x)=x+Ordó(x^3)

alakot írod, ahol jelölve van hogy a hiba harmadrendű, és a közelítés során a harmadrendű (nem másodrendű!) tagoktól kezded az elhanyagolást.

"Akkor MOST legyél szíves alátámasztani az állításodat valamivel... "

Egy másik kérdésnél te voltál aki dicsőítette a lapos Földes elgondolást, nem?

"Mert hogy ilyet sem állítottam, az is biztos..."

Kár, hogy össze-vissza irogatsz, és már arra sem hogy mit...

"Egyrészt, ha a kérdező már tanulta a deriválást, akkor miért ne lehetne azzal csinálni?"

Ha tanulta volna, akkor nem kérdezné. No comment.

"Az pedig csak hab a tortán, hogy szerinted a "deriválás" "ágyúval galambra lövés", a Taylor-sor meg nem..."

Ha nem tűnt volna fel, én Taylor-polinomot mondtam és nem sort. Lehet hogy te tudatlanul egy kalap alá veszed a kettőt, de attól még nem lesz ez így.

Sőt világosan leírtam hogy az elsőrendű Taylor-polinomot kell használni, ami egy lineáris egyenes lesz. Az egyenes egyenlete pedig középiskolás anyag.

A deriválás most már nem, mert kivették a tananyagból.

"És ha mondjuk egy [-5;5] intervallumot nézünk, akkor máris jó lesz az okfejtésem... "

Ha a [200, 205] intervallumot nézzük, ott is van lineáris közelítés. De látom, te mindenképp a 0-nál maradsz, ahogy a tudásod szintje is.

"Mert azért abban még talán te is egyetértesz velem, hogy ha az egészet ábrázolja minél jobb pontossággal, akkor sehogyan sem lesz a képe egyenes..."

Milyen egészet? Az értelmezési tartomány (-inf,+inf) ezt síkban nem tudod ábrázolni, mert a papírlapok mérete és a számítógép képernyője is véges méretű.

Ha az egészet akarod ábrázolni, akkor a számítógép képernyőjét gömb alakúra kéne gyártani. Ugyanis igazolható, hogy a teljes sík egy félgömbre leképezhető.

De mondjuk itt ennek sincs sok értelme, mert a leképezés semmilyen plusz információt nem adna a függvényről.

Ha tanultál volna pl. a differenciálegyenletek kvalitatív elemzéséről akkor ott viszont találkoztál volna ezzel, mert topológiailag így vizsgálható egy rendszer.

"Jó lenne 5-ös, ha visszavennél magadból, mert nincs mire fent hordanod az orrodat."

Hát... Én nem hordom fent az orromat, ellentétben veled... Annak ellenére, hogy nem vagy képes értelmezni az általam leírtakat... De egyre inkább kezdem azt hinni, hogy egyszerűen csak szándékosan félreértelmezed az írásaimat, hogy bele tudj mibe kötni, mert egyszerűen lehetetlen, hogy valaki ennyire értetlen legyen...

Bár gondolom, ez az egyetlen kommunikációs lehetőséged a világgal, mert otthon még a kutya se nyitja rád az ajtót, és így akarod felhívni magadra a figyelmet... Sajnálatos, de az itt produkált viselkedésed alapján nem meglepő, ha így van...

"Akkor magyarázd meg, mi az hogy "közeli"? Mivel méred a közelséget?"

Fogadjunk, hogyha ugyanezt egy mérnökkolléga mondja, neki betudod szakzsargonnak...

"Mert ha ilyen kifejezéseket használsz, akkor első lépésed kéne legyen bevezetni a metrikus tereket, a topológiai alapfogalmakat, és definiálni kell a távolságfüggvényt."

Megint visszatértünk ahhoz a történethez, hogy nekem komplett matematikai szakterületeket kell leírnom ahhoz, hogy bármit is írhassak ezen az oldalon, neked ugyanezt nem kell produkálnod...

Magadhoz miért nincsenek ilyen elvárásaid? Mert te se nagyon kezded egyik hozzászólásodat sem azzal, hogy mindent, az utolsó betűig definiálsz... Te csak annyit tudsz, hogy "itt meg ott meg tudod nézni"... Amikor meg szólnak, hogy ez egyáltalán nem segít, még te vagy felháborodva, hogy mi az, hogy nem...

"Az |x|<<1 feltevés is csak speciális esetben vonja maga után hogy helyesen lehessen közelíteni egy alkalmas kicsiny környezetben. És nem jelenti azt, hogy ész nélkül csak kihuzogatunk tagokat, ahogy azt indoklás nélkül tetted."

Indoklás nélkül... értem... Azért talán még a kérdező is képes egy polinom és egy "gyorsan növő" függvény között különbséget tenni... Persze, most megkapom, hogy miért nem definiálom, holott te tökéletesen tudod, hogy mit értek rajta...

"Ez egy egyenlet, és ha felrajzoltad volna a két függvény képét, akkor látnád, hogy csak x=0-ra igaz."

Nahát, hogy miket nem mondasz...

"Ha közelítést akarsz felírni, akkor kerekítési jelet írunk, nem pedig egyenlőség jelet."

Nem, nem közelítést akartam felírni... És csodálkozom rajta, hogy annyira elvakultan akarsz velem konfrontálódni, hogy még azt sem látod, ami a szemed előtt van...

Bizonyára te is hallottad már, hogy számításoknál, "kis szögekre", használják ezt az egyenlőséget, például sin(0,001)-et nem kezdik el vadul Taylor-sorba fejteni, hanem megelégszenek, a 0,001-es értékkel (persze ez is attól függ, hogy mennyire akarnak pontos eredménnyel számolni). De ugyanaz a történet, mint amit már fentebb írtam...

"Egy másik kérdésnél te voltál aki dicsőítette a lapos Földes elgondolást, nem?"

Még csak abban sem vagy biztos, hogy én írtam, de megvádolsz vele? Gyönyörű...

"Kár, hogy össze-vissza irogatsz, és már arra sem hogy mit..."

Már nemcsak vádaskodsz, de még erre is rádobsz egy lapáttal a lehülyézéssel...

Te állandóan arról papolsz, hogy "mindenki fejlődésképtelen"... A gond csak az, hogy pont te mutatod meg a legjobban, hogy milyen a "fejlődésképtelenség"... Hogy szöveget értelmezni nem tudsz, az egy dolog, azon már változtatni úgy sem tudsz. De, hogy már nem egyszer leírtam, hogy ha érvelsz, ha egy állítást megfogalmazol, akkor az a minimum, hogy alátámasztod, ennek ellenére még mindig az a hozzáállás, hogy "ha úgy is érdekel, majd megnézed"... szerinted ez nem a fejlődésképtelenség kiváló példája? Merthogy az igénytelenségé meg a képmutatásé az, az teljesen biztos...

"Ha tanulta volna, akkor nem kérdezné. No comment."

Vagy nem... Az a baj, hogy mindig magadból indulsz ki (bár kétlem, hogy te is mindig megtaláltad minden problémához elsőre a megfelelő eljárást...); már nem egy embert láttam, aki szépen bemagolta a deriválási lépéseket, amikor pedig jött a probléma, hogy húzzunk éritőt a görbéhez, egyszerűen nem tudták összekapcsolni a deriválással. Ebből is látszik, hogy sok helyen akkora hangsúlyt fektetnek a begyakoroltatásra, hogy a mögöttes lényegi tartalom elvész.

"Ha nem tűnt volna fel, én Taylor-polinomot mondtam és nem sort. Lehet hogy te tudatlanul egy kalap alá veszed a kettőt, de attól még nem lesz ez így."

Igen, elírtam. Hatalmas probléma... Akkora probléma, hogy (újból) meg kellett bégelyezni, alaptalanul...

"Sőt világosan leírtam hogy az elsőrendű Taylor-polinomot kell használni, ami egy lineáris egyenes lesz. Az egyenes egyenlete pedig középiskolás anyag."

Csakhogy nem ez volt a kérdés... Hanem az, hogy ehhez a feladathoz kvázi alapvetőnek veszed a Taylor-polinommal való számolást, viszont a deriválást leszólod...

Sőt; mégis hogy a jó istenbe kellene elkezdenie vele számolni, amikor ahhoz meg kell a deriválás? Na, ezt magyarázd el nekem, ha akkora ész vagy...

"Ha a [200, 205] intervallumot nézzük, ott is van lineáris közelítés."

Miért következik abból, hogy a tárgyalásmódom jó a példának felvetett [-5;5] intervallumra, hogy egyrészt szerintem ez minden intervallumra jó, másrészt nem tudhatom, hogy más intervallumokon máshogyan kell eljárni? ...

"De látom, te mindenképp a 0-nál maradsz, ahogy a tudásod szintje is."

Azon túl, hogy még nem nagyon mutattál fel semmit arra, hogy "0 lenne a tudásom", belőled más sem árad, hogy mindenki idióta... Csak akkor nem értem, hogy mit keresel itt? Mert ezen kívül más nem árad belőled... És senki nem kíváncsi rád... Te emberileg 0...

"Milyen egészet? Az értelmezési tartomány (-inf,+inf) ezt síkban nem tudod ábrázolni, mert a papírlapok mérete és a számítógép képernyője is véges méretű."

Nagyszerű, egy minimálisan kezdtünk közös nevezőre jutni...

Pont azt mondtam, hogy mindenképp kellene tudni, hogy milyen intervallumon ábrázol a gép, mert aszerint lehet más-más megoldást adni (és a teljes valós intervallumon nyilván nem tudja egyenesként ábrzázolni). De, mivelhogy nem az volt a feladat, hogy azt mutassuk meg, hogy miért lineáris függvényként ábrázolja az egyébként nem lineáris függvényt, hanem azt, hogy ez a függvény annak ellenére nem lineáris, hogy a gép azt mutatja. Szóval innentől kezdve mindegy is ezt tovább tárgyalni.

"Indoklás nélkül... értem... "

Pedig levezettem, és külön felhívtam rá a figyelmet. Ja hogy csak félig olvastad a levezetést?! És még engem szoktál ilyennel vádolni...

"Bizonyára te is hallottad már, hogy számításoknál, "kis szögekre", használják ezt az egyenlőséget,"

Nem hallottam, mert ilyen nem létezik. Közelítést használnak, nem pedig egyenlőséget.

"már nem egy embert láttam, aki szépen bemagolta a deriválási lépéseket, amikor pedig jött a probléma, hogy húzzunk éritőt a görbéhez, egyszerűen nem tudták összekapcsolni a deriválással."

Igénytelen helyeken szokott ilyen lenni.Ezért kell az elméletet jól megtanulni és érteni.

"Igen, elírtam. Hatalmas probléma..."

Persze hogy hatalmas hiba. Hogy nem lehet ezt látni...