Adott két vektor 𝑎 (3; 5) é𝑠 𝑏 (4; 2). Mekkora szöget zár be a két vektor?

Annyit megjegyeznék, hogy ha nem a kerekített értékkel számolsz, hanem azonosság alapján a gyök(34)*gyök(20)=gyök(34*20)=gyök(680)-nal, akkor eredménynek 26,0768-at kapsz, és láthatod, hogy majdnem 2 századot vesztettél a kerekítéssel. Sőt, hogyha még mindig nem ezzel a kerekített értékkel számolsz, hanem gyök(680)-nal osztasz, és szintén az azonosságokkal számolsz, akkor a bal oldalra:

22/gyök(680)=gyök(484)/gyök(680)=gyök(484/680) adódik, így a bal oldalon 0,8437 lesz, ami már láthatóan majdnem 4 századdal kevesebb a 0,8820-nál, és így az arkosz koszinuszra (a visszakeresésre) 32,4671° adódik, tehát 5 század fokos az eltérés, ha pedig azt ütöd be a számológépbe, hogy shiftcos(gyök(484/680)), akkor 32,4712-t kapsz eredménynek, ami még rádob 4 századfokot az eredményre.

***

Úgy is ki tudod számolni a szöget, hogy veszed az O(0;0), A(3;5) és B(4;2) pontok által meghatározott háromszöget, kiszámolod az oldalait, és egy koszinusztétellel egyszerűen meghatározhatod; érdemes az oldalakt gyökös alakbrn hagyni, mert a koszinusztételben a négyzetre emeléssel azok el fognak tűnni.

Kicsit egyszerűbb megoldás is van; látható, hogy mindkét vektor az I. síknegyedbe mutat, ezért elég csak azt megnézni, hogy ezek hány fokos szöget zárnak be az y-tengellyel, és a kapott eredményeket kivonva egymásból kapjuk a vektorok hajlásszögét;

Az a vektor hajlásszöge legyen Ł, ekkor tg(Ł)=5/3=1,6667, amire Ł=~59,0367° adódik.

A b vektor hajlásszöge legyen ß, ekkor tg(ß)=2/4, amire ß=~26,5651° adódik.

Ezek különbsége: 59,0367°-26,5651°=32,4716°, ami többet ad, mint az előző számolás, de már csak tízezredes nagyságrendben tér el. Persze itt is be lehet írni a számológépbe egyben az egész különbséget, vagyis shifttg(5/3)-shifttg(2/4), így egy kicsit pontosabb eredményt kaphatunk.

Na igen, a kerekítések... Ezért kell paraméteresen számolni.

cos(alfa)=a*b/(|a|*|b|)

cos(alfa)=(a1*b1+a2*b2)/{gyök[(a1^2+a2^2)*(b1^2+b2^2)]}.

Mindig csak a végképletbe szokás behelyettesíteni igényesebb helyeken, nem pedig a számokat és a hibákat cipelni a levezetésnél... emellett a számítás is így sokkal áttekinthetőbb.