Hogy igazoljam, hogy az S=1+4+4^2+4^3+. +4^2019 szám osztható 25-tel?

Ahoz, hogy megállapítsuk, hogy egy szám osztható-e maradék nélkül 25-tel, elég csak megnézni a szám utolsó két számjegyét.

Az 1-től 2019-ig tartó 4^n sorozat összegének utolsó két számjegye tíz ciklusonként ismétlődik, ezért nem muszáj 2019-ig elszámolni. Elég csak 2019/10 maradékáig elszámolni, vagyis 9-ig.

1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6+4^7+4^8+4^9 = 349525

Ez osztható 25-tel, ezért az 1+4+4^2+4^3+...+4^2019 is osztható 25-tel.

Ugyanerre az eredményre jutottam:

[link]

Just for the record (ha már lepontozták az első választ):

A mértani sor összegképlete alapján

S = (4^2020 - 1)/3.

4^10 éppen 1 maradékot ad 25-tel osztva*, tehát 4^2020 = (4^10)^202 is, így S éppen 0 maradékot fog adni (ugye a 3 és a 25 relatív prímek, így a /3 helyett nyugodtan képzelhetünk *17-et).

*Ez gyorsan látszik, mert a 2^10 = 1024 összefüggés aránylag közismert, itt a maradék -1 ~ 24, 4^10 meg ennek a négyzete. (De számológéppel 24*24 = 576, ha vki nem szereti a negatív maradékot.)

Ha valaki jártasabb számelméletben, esetleg ez egy egyetemi házi valakinek:

Moduló 25 o(4)|φ(25) = 20, és 20|2020, tehát 4^2020 kongruens 1 mod 25, így S kongruens 0 mod 25, tehát osztható 25-tel.