Hány olyan négyjegyű pozitív szám van, amelynek bermelyik számjegyét törölve olyan háromjegyű számot kapunk, amelyik osztója az eredetinek?

Ha az utolsó jegy y, az előtte levő 3 jegyű azám pedig x, akkor az utolsó jegy elhagyásával ezt kapjuk:

x | 10x+y de mivel x|10x azért x|y is igaz. Egy háromjegyűvel osztható csak akkor lehet egy egyjegyű, ha az egyjegyű 0. Vagyis az utolsó jegy 0.

Ez azt jelenti, hogy x egy olyen 3jegyű szám, amire igaz a kiinduló feltétel. ( bermelyik számjegyét törölve olyan KÉTjegyű számot kapunk, amelyik osztója az eredeti 3jegyűnek)

Az x-re ugyanezt végigjátszhatjuk, ekkor annak utolsó jegyére is 0 jön ki, aztán az elején álló kétjegyűnek is. Tehát a szám csak w000 alakú lehet, de ekkoer az első jegy elhagyásával nem 3jegyűt kapunk.

Tehát nincs ilyen szám.

Ha a kétjegyű szám utolsó jegyét törlöd, akkor 1-jegyűt kapsz, de az már nem igaz, hogy egy egy-„jegyűvel osztható csak akkor lehet egy egyjegyű, ha az egyjegyű 0.”

Végig kell nézni, hogy jó-e, ha az első két jegy 11, 12, …, 19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99.

(Például az 1200 jó szám, mert 120|1200, 120|1200, 100|1200 és 200|1200.)

Legyen a szám az 1000*a + 100*b + 10*c + d, ahol a, b, c, d számjegyek, és a nem 0. Mivel bármelyik számjegyet (akár a-t) törölve háromjegyű számot kapunk, ezért b sem lehet 0. Ezenkívül van még 4 feltétel:

I. 100*b + 10*c + d | 1000*a + 100*b + 10*c + d,

II. 100*a + 10*c + d | 1000*a + 100*b + 10*c + d,

III. 100*a + 10*b + d | 1000*a + 100*b + 10*c + d,

IV. 100*a + 10*b + c | 1000*a + 100*b + 10*c + d.

A IV. alapján 100*a + 10*b + c | 10*(100*a + 10*b + c) + d,

tehát 100*a + 10*b + c > 100 osztja d < 10-et, ezért d = 0. Ezt helyettesítve a IV. feltétel nyilván teljesül, az első 3 pedig ilyen lesz:

I. 10*b + c | 100*a + 10*b + c,

II. 10*a + c | 100*a + 10*b + c,

III. 10*a + b | 100*a + 10*b + c = 10*(10*a + b) + c,

A III. alapján 10*a + b > 10 osztja c < 10-et, tehát – d-hez hasonlóan – c = 0. Így 100-zal osztható a számunk, és mivel az első két jegye pozitív, ezért csak 9*9 = 81-féle lehet, amit akár végig is próbálgathatnánk. De azért írjuk ezt be az első két feltételbe, hátha kevesebbet kell majd próbálgatni.

I. b | 10*a + b,

II. a | 10*a + b.

A II. alapján a|b, így már csak az elején felsorolt 9 + 4 + 3 + 2 + 5*1 = 23 lehetőség van, amit az első feltételbe írva kell ellenőrizni. Hogyha a = b, akkor ez nyilván teljesül (ez kapásból 9 jó szám), a maradék 14 eset:

2|12 --> OK; 4|24 --> OK; 6|36 --> OK; 8|48 --> OK;

3|13 --> NO; 6|26 --> NO; 9|39 --> NO;

4|14 --> NO; 8|28 --> NO;

5|15 --> OK;

6|16 --> NO;

7|17 --> NO;

8|18 --> NO;

9|19 --> NO.

Ha jól számolom, ez 4 + 1 = 5 darab OK, meg az elején megjegyeztük, hogy még 9 alapból jó kell legyen, tehát összesen 5 + 9 = 14 darab olyan szám van, amilyre a feladat kérdez.

> „A II. alapján a|b,”

így létezik olyan k egész, hogy b = k*a, és k nyilván legalább 1 és legfeljebb 9. Ez az I. feltételbe írva

I. k*a | 10*a --> k | 10,

tehát vagy k = 1 és b = a mind a 9 esetben számjegy; vagy k = 2 és b = 2*a csak akkor számjegy, ha a < 5, ez 4 lehetőség; vagy k = 5, b = 5*a csak akkor számjegy, ha a = 1. Ez összesen 9 + 4 + 1 = 14 lehetőség.

Igaza van!

Hebehurgya voltam, bocs! vb