Létezhet olyan háromszög, ahol az oldalak hosszai rendre: 5+1i; 5+1i; 5+1i?

Mi az a távolság? A matematikában (inenntől wikiről másolva) egy d: H×H → R függvény a H halmazon értelmezett távolságfüggvény, ha:

d(x,y) ≥ 0, és d(x,y) = 0 akkor és csak akkor, ha x = y. Két pont távolsága nem negatív, és nulla akkor és csak akkor, ha a két pont egybeesik.

Szimmetrikus: d(x,y) = d(y,x). Az x és az y pont távolsága mindkét irányban ugyanaz.

Teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Két pont között az egyenes szakasz a legrövidebb út.

Tehát a távolság csak valósértékú függvény lehet, és én nem is hallottam soha, hogy komplexekre kiterjesztették volna. Már csak azért sem tűnik ez lehetségesnek, mert az első és harmadik tulajdonság is épít a valós számok rendezettségére, amit komplexeknél elveszítünk.

Összefoglalva, már az sem lehetséges, hogy két pont távolsága 5+i legyen.

Ugye ez a sofőrrel együtt 5-en utaznak a buszon, leszállnak 8-an, hányan maradnak? feladat másodikosok helyett 12.-eseknek (vagy mikor vannak a komplex számok).

Úgy is mondhatnám, hogy mekkora a négyzet oldala, ha a területe –1 egység. (Jó, oké, ez utóbbi még értelmes is lehet akkor, ha a negatív körüljárási irányú síkidomok területét negatívnak definiáljuk.)

Létezhet olyan háromszög, melynek a derékszögű koordináta-rendszerben az oldalai origó kezdőpontú vektorok, mindháromé (5,1)?

Nem.

Olyan, aminek mindhárom oldalhossza egyenlő az (5,1) vektor hosszával? (abszolút értékével)?

Igen.

Amúgy a komplex számok matematikai kezelése tulajdonképpen vektorműveletekből áll, így valahol kezelhető a dolog, geometriai átírással is, csak pont a kérdés formájában nem.

De nem tudom, mint fent írtam, van-e gyakorlati haszna, alkamlazása a komplex síkon a koordinátageometriának.