Milyen függvényre teljesül az y (x) - y (y (x) ) = 1 egyenlet?

f(x) - f(f(x)) = 1

Átrendezve:

f(f(x)) = f(x) - 1

Ergo:

f(x) = x - 1

Ja, csak átrendeztem az egyenletet. Ami lehet, hogy magyarázatra szorul (bár fura lenne, ha igen):

∀y f(f(y)) = f(y) - 1

x := f(y)

∀x f(x) = x - 1

Ha nem kell folytonosnak lennie, akkor jó a következő fv:

Ha az x egész, rendeljen hozzá x-1-et.

Ha x nem egész, akkor rendeljen hozzá 5-öt!

(De ha jól látom, a nem egészekhez bármilyen egészet lehet rendelni, nem is kell mindhez ugyanazt!

Gyanítom, hogy az összes megoldás ilyen típusú fv. lesz...)

Két jópofa példa:

1. f(x)= x-1 egészrésze

2. Ha az x egész, rendeljen hozzá x-1-et.

Ha x nem egész, akkor rendelje hozzá az egyértelműsített végtelen tizedestört alakjában a századik számjegyet.

*egyértelműsített = csupa 9 szakasz helyett csupa 0 szakasz, pl 0,9999999... helyett 1,00000000000...

Úgy tűnik, másféle jó függvények is vannak.

Ha valamely valós p esetén a H={p+n | n egész azám} halmazon a függvény szabálya x+1, a többi valóshoz pedig valamely H-belit rendeli, az már jó lesz.

Sőt, lehet több ilyen H halmaz is, többféle p esetére.

A dolog titka az, hogy az egyenletben sehol nem szerepel közvetlenül az „x”, tehát elvileg az, hogy x-hez milyen értéket rendel hozzá a függvény az csak abban az esetben lényeges, ha x a függvény értékkészletébe esik f(f(x)) miatt, ha nem esik az értékkészletébe, akkor a függvény x-hez bármilyen értéket hozzárendelhet.

Ugye itt a #6 válaszomban írt 2. sor „x := f(y)” az, ami kibúvót jelent.

Legyen ℍ halmaz az „f” függvény értékkészlete.

Itt kis kitérőként meg kell jegyezni, hogy ha

y∈ℍ

azaz

∃y∃x f(x)=y

akkor

y-1∈ℍ

hiszen

f(x) = f(f(x)) + 1

y = f(y) + 1

f(y) = y - 1

amihez az kell, hogy:

∃y f(y)=y-1

Ez rekurzívan igaz, sőt a másik irányban is, tehát ha:

y∈ℍ

akkor

∀n∈ℤ (y+n)∈ℍ

~ ~ ~

Nyilván az is szükséges, hogy minden olyan x esetén, ami a függvény értékkészletében szerepel, az az „x” legyen eleme a függvény értelmezési tartományának. Viszont a függvény értelmezési tartománya lehet tágabb, mint az értékkészlete, tehát létezhet olyan x, ami a függvény értelmezési tartományában benne van, de az értékkészletében nincs.

Viszont ugye azt írtam, hogy:

x := f(y)

∀x f(x) = x - 1

Ebből a következő kritériumnak kell pontosan megfelelni a függvényünknek:

1. Ha x∈ℍ, akkor f(x) = x - 1

2. Ha x∉ℍ, akkor f(x) = akármi, persze nyilván f(x)∈ℍ

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Pl.:

Ha (x+π)∈ℤ, akkor f(x) := x - 1

Ha (x+π)∉ℤ, akkor f(x) := (x+3)² - π

Nézzük meg pár példával:

x := 3

(x+π) = 6,283185307…

(x+π) ∉ ℤ

f(x) = (x+3)² - π = 6² - π = 36 - π = 32,858407346…

f(x)+π = 36 - π + π = 36

f(x)+π ∈ ℤ

f(f(x)) = f(x) - 1 = 32,858407346… - 1 = 31,858407346…

f(x) - f(f(x)) = 32,858407346… - 31,858407346… = 1

~ ~ ~

x := 2-π

(x+π) = 2-π + π = 2

(x+π) ∈ ℤ

f(x) = x - 1 = 2-π - 1 = 1 - π = −2,141592654…

f(x)+π = 1-π + π = 1

f(x)+π ∈ ℤ

f(f(x)) = f(x) - 1 = −2,141592654… - 1 = −3,141592654

f(x) - f(f(x)) = −2,141592654… - (−3,141592654) = 1