Mi a bizonyítása?

bármelyik prímtényezőre felírhatjuk, hogy

a = p^n1 * a(p)

b = p^n2 * b(p)

(Megjegyzés: Ha a nem osztható p-vel, akkor n1 0 lesz, tehát a fenti felírás mindig értelmes.)

a*b-ben a p kitevője n1+n2 lesz

Így (a;b)-ben a p kitevője biztos, hogy n1 és n2 közül a kisebb lesz (precízebben a nem nagyobb)

[a;b]-ben p kitevője a nagyobb.

Így (a;b)*[a;b] -ben a p kitevője (n1+n2)

Mivel ezt minden prímtényezőre eljátszhatjuk, ezért a két oldalon pontosan ugyanazok a prímtényezők lesznek azonos hatványon, így a két oldal egyenlő.

Másik leírással, és egy kicsit másik megközelítésben;

vegyük az a és b számok "majdnem" prímtényezős felbontását -ez alatt azt értem, hogy a prímtényezők mellett megengedem az 1-et is, ami minden prímszám 0. hatványa lesz-, tehát

a=2^(n[1])*3^(n[2])*...*p[k]^(n[k])*..., ahol p[k] a k-adik prímszám, n[1];n[2];..;n[k] pedig nemnegatív egész számok, és

b=2^(m[1])*3^(m[2])*...*p[k]^(m[k])*..., a jelölések hasonlóak a fentihez.

A legnagyobb közös osztót úgy szokás meghatározni, hogy a közöseket összeszorozzuk a legkisebb hatványon. Azért volt praktikus a 0. hatványokat is belevenni a buliba, mert így nem kell külön megnézni, hogy mik a közösek (és nem is nagyon tudnánk, elvégre az a;b számoktól függ, hogy melyik prímtényező milyen hatványon van), így csak azt kell mondani, hogy mindenkit össze kell szorozni a legkisebb hatványon, tehát:

(a;b)=2^min{n[1];m[1]} * 3^min{n[2];m[2]} * ... * p[k]^min{n[k];m[k]} * ...

A legkisebb közös többszöröshöz pedig a szorzatba a nagyobb hatvány kerül, tehát:

[a;b]=2^max{n[1];m[1]} * 3^max{n[2];m[2]}* ... * p[k]^max{n[k];m[k]} * ...

Értelemszerűen ha n[k]=m[k], akkor min{n[k];m[k]}=max{n[k];m[k]}=n[k]=m[k]

Namost ha ezeket összeszorozzuk, akkor a szorzatban mindkét szám mindegyik prímtényezője szerepelni fog pontosan egyszer, tehát azokat megfelelő sorrendbe rakva megkapjuk az a és b számokat, a sorbarendezéstől pedig maga a szorzat értéke nem fog megváltozni, tehát:

(a;b)*[a;b]=a*b