Valakinek van valami ötlete az alábbai feladathoz?

Ez azt is jelenti, hogy az f(x) függvény az y=-x alakú egyenessel párhuzamosan mozdul el. Első körben tehát érdemes olyan f(x)-eket keresni, amelyek végig ezen egyenes alatt vannak (vagy legfeljebb rajta), de az f(f(f(x))) pedig végig felette (vagy legalább rajta).

A gondolatmenetből az is kiderül, hogy triviálisan az előbb leírt egyenes, vagyis az f(x)=-x alakú függvény megoldása lesz az eredeti egyenlőtlenségednek.

Nézzük meg, mi van olyankor, hogyha f(x)=-x+c alakban keressük a függvényt, ahol c konstans. Nem nehéz rájönni, hogy tetszőleges y-ra f(x+y)+y=f(x), tehát csak ezt kell megoldanunk:

f(x)<=f(f(f(x)))

A bal oldal: -x+c

A jobb oldal: -(-(-x+c)+c)+c=-x+c

Tehát -x+c<=-x+c, ez pedig szintén értelemszerűen megoldása lesz a fenti egyenlőtlenségnek. Tehát az összes f(x)=-x+c alakú egyenlet jó lesz nekünk.

A többit később.

Szép megközelítés, amit #5 ír. Csak ennek a feladatnak is a nehézsége abban áll, ami szokott lenni. Találunk egy megoldást, rendben.

De hogyan igazoljuk azt, hogy nincs más (alakú) megoldás. Talán -bizonyos megkötések mellett- érdemes lenne sorfejtéssel is próbálkozni.