Egy vízcseppnek (2 mm átmérőjű) körülbelül hány cm zuhanás szükséges, hogy elérje a maximum sebességet?

Ha a végsebesség ismert, akkor abból már egy kis integrálással visszaszámolható a gyorsulási táv. A gyorsulás a logaritmusfüggvény szerint történik meg.

Egy kis segítség a végsebesség számításához:

[link]

[link]

Azért nem túl egyszerű a kérdés, mert a víz sajnos folyékony, így egy zuhanó csepp alakja nem állandó az időben. (Fun fact: elsőre félreolvastam a kérdést, és azt hittem, hogy esőcseppről van szó, ami még egy kicsit bonyolultabb amiatt, hogy mi történik vele a felhőben, egyáltalán mikortól mondhatjuk az egy adott eső csepp és mikor kezd el zuhanni, és emiatt egész nap ezen zakatolt az agyam… De találtam egy jó kis videót erről:

[link] gpm.nasa.gov/science/anatomy-of-a-raindrop )

De szerencsés tanulság, hogy egy zuhanó vízcsepp nagyjából gömb alakot vesz fel, igaz, ez pont 2 mm-nél már kezd kicsit elromlani, lásd:

[link] DOI:10.13140/RG.2.2.21408.40962 (2. ábra) (Megjegyzés: kicsit hanyagul szerkesztett tézis, meg egyből kiszúrtam benne néhány elgépelést is, de GyK-ra jó lesz ez. Vagy ha nem, akkor keressetek jobbat…)

Innentől kezdve rendes elméleti fizikusba kapcsolunk, és megoldjuk a problémát egy gömb alakú, állóhelyzetből indított, szilárd vízcseppre v̶a̶k̶u̶u̶m̶b̶a̶n̶ (na jó, az úgy már túl könnyű, és a kérdezőnek is menne magától) homogén levegőben és homogén gravitációs térben. A mozgásegyenlet a lefele irányt választva pozitívnak:

Fk – G + Ff = m*a,

C*v^2 – m*g + V*ρk*g = m*a,

C/m*v^2 – (g – V*ρk*g/m) = a.

mert hat rá egy a sebesség négyzetével arányos közegellenállási erő, a nehézségi erő, és a felhajtó erő (ez utóbbit mindjárt el fogom hagyni, mert a közeg sűrűsége majdnem ezerszer kisebb, mint a cseppé, de talán látszik, hogy ez az arkhimédészi felhajtó erő más esetekben könnyen figyelembe vehető úgy, hogy a g helyett egy effektív g*-ot írunk… Csak ha lufival szeretne majd valaki számolni, vagy a víz alatt elejtett medicinlabdával…)

Itt C = ρk*k*A/2 a közegellenállási együttható, amiben ρk a közeg sűrűsége, amit én most 1,2 kg/m^2-nek fogok venni (ez amúgy egy kellemes, száraz, hűvös levegő sűrűsége az ideális gázok állapotegyenlete alapján [1]), k az alaktényező, amit én most 0,7-nek veszek majd (kis korrekció arra, hogy nem pont gömb alakú a cseppünk, de aki akarja megcsinálhatja a számolást 0,47-re is meg 0,9-re, nekem mindegy [2]), A a cseppünk homlokfelülete (ami most egy picit nagyobb, mint 2 mm átmérőjű kör területe, de a korrekciót erre úgy veszem, hogy sikerült beleépítenem k-ba), m = ρcs*V pedig a vízcsepp tömege, amit a víz sűrűsége (1000 kg/m^3) és a csepp térfogata alapján számolhatunk (a csepp térfogatát itt is a gömb térfogata alapján számolom, a valóságban picit kisebb, de mivel a nevezőben van, ezért ugye ez is csak növeli majd C értékét, és úgy veszem, ezt is beépítettem a k-ba). A többi cucc a szokásos, g helyére 9,8 m/s^2-et írok, de ezt is ellenőrizhetitek Wolframalphán, hogy mennyi lenne különböző helyeken [3].

Szóval

C/m = ρk*k*π*(d/2)^2/(2*ρcs*4/3*π*(d/2)^3) = 3*ρk*k/(4*ρcs*d) = 0,315 1/m,

amivel az egyenlet

C/m*v^2 - g = a,

aminek a megoldása (mivel álló helyzetből indul a test)

v(t) = α*th(β*t),

ahol α = gyök(g/(C/m)) ≈ 5,578 m/s és β = gyök(g*(C/m)) ≈ 1,7570 1/s (legközelebb ezeknek a konstansoknak kiszámolását már a kérdezőre fogom bízni…).

Itt látszik, hogy van egy olyan probléma, hogy th(x) függvény szigorúan monoton növekszik, és sosem éri el a maximumát, de mivel úgy is nehéz a vízcsepp sebességét százaléknál pontosabban látni, és th(3) ≈ 0,9951, ezért úgy veszem, hogy akkor amikor a csepp eléri az egyensúlyi sebességének a 99,51%-át, akkor már lényegében elérte a végsebességét. Szóval már csak az a kérdés, hogy mekkora utat tesz meg, mialatt β*t = 3-má válik, ehhez pedig csak integrálni kell a v(t)-t, amiből

s(t) = α/β*ln(ch(β*t)),

ami minket most a β*t = 3 helyen érdekel, ami pedig

Δs = α/β*ln(ch(3)) ≈ (5,578 m/s)/(1,7570 1/s)*2,309 ≈ 73 cm.

Itt történt pár önkényes dolog (k = 0,7 vagy az, hogy 99,51%-nak vettem egy küszöbértéket, meg persze a levegő sűrűsége,…), de szerencsére csak helyettesíteni kell tudni, ha ki akarjátok számolni más paraméterekre a dolgot. Ehhez a használt függvények angol változatai (hogy könnyen be tudjátok másolni Wolframalphára):

tangens hiperbolikusz (th(x)): tanh(x),

négyzetgyök (gyök(x)): sqrt(x),

koszinusz hiperbolikusz (ch(x)): cosh(x),

természetes logaritmus (ln(x)): log(x),

és ugye még annyi, hogy a tizedesvesszőket tizedespontokra kell cserélni, valszeg ez a legfontosabb.

[1] [link] WA input: (28.96 g/mol)*(1 bar)/(294 K)/(universal gas constant)

[2] [link] enwp.org/Drag_coefficient

[3] [link] WA input: gravitational acceleration in Budapest

Nyilván csak akkor jut eszembe, amikor már elküldtem a választ, de ugye a végeredményt lehet úgy írni, hogy

Δs = |m/C|*ln(ch(x)) = 4/3*ln(ch(x))/k * ρcs/ρk * d,

ahol d a csepp átmérője, x pedig attól függ, hogy az egyensúlyi sebesség hány százalékának elérésénél mondjuk azt, hogy „elérte” a végsebességét (ha maradunk az x = 3-nál, és a levegő meg a víz sűrűségét sem vitatjuk, akkor Δs ≈ 2566*d/k). Már ha nem számoltam el.

És akkor az is látszik, hogyha a C/m-et nagyjából 50% hibával tudtuk (ugye abból jön a baj, hogy nem pont gömb alakú a csepp), akkor ez a 730 cm is inkább 500-1500 cm lesz. (Ezt mondjuk illett volna egyből megjegyeznem… Meg nem lefelejtenem a 0-t az előbb a végeredménynél…)

Lassan túlteszem magam rajta, hogy nem esőcsepp, és nem is feltétlenül az egyensúlybeli átmérője a 2 mm, hanem az állóhelyzetbeli, és akkor ugye a tömegét is értelmesebben lehet számolni, nem kell miatta korrigálni…

Illetve az első válasz (tegnap 07:38) is értelmet nyer lassan, valóban lehet így is csinálni (mondjuk azt még mindig nem tudom, hogy mi történik a logaritmus függvény szerint). Szóval az első válaszadó második linkjén van egy hivatkozás erre a cikkre:

[link] Gunn & Kinzer: J. Meteor. 6, 243; doi:10.1175/1520-0469(1949)006%3C0243:TTVOFF%3E2.0.CO;2

Ebben pedig kimérték, hogy a kezdetben d = 2 mm átmérőjű csepp egyensúlyi sebessége α = 6,49 m/s (ugye az én α paraméterem az előző hozzászólásokban éppen ez az egyensúlyi sebesség), amivel m/C = α^2/g ≈ 4,298 m, és akkor a nem (az általam fotelből) becsült, hanem valóban kimért paramétereken alapuló végeredmény

Δs = ln(ch(arth(ξ)))*α^2/g ≈ 9,9 m

ha a sebesség küszöbértékének az egyensúlyi sebesség ξ = 99,51%-át választjuk (vagy hát azt mondjuk, hogy x = arth(ξ) legyen 3).

Egyéb küszöbértékekre:

ξ = 90%-ra: Δs ≈ 3,6 m,

ξ = 95%-ra: Δs ≈ 5,0 m,

ξ = 98%-ra: Δs ≈ 6,9 m,

ξ = 99,9%-ra: Δs ≈ 13,4 m.