Mértani sorozat?! Kérem írja le valaki a megoldas menetét!

Csak azért lett hosszú, mert nagyon részletesen írtam, de ez egy egyszerű feladat.

Egy mértani sorozatot meghatároz az első eleme a1, és a szomszédos tagjainak hányadosa a2/a1=a3/a2=...=q. (Ugye a mértani sorozat definíciója az, hogy a szomszédos elemek hányadosa állandó.) Ekkor a tagokat a következő formában is lehet írni: a1=a1, a2=a1*q, a3=a2*q=a1*q^2, a4=a1*q^3 stb. Neked adva van az első három tag összege, és másik három tag összege, tehát van 2 egyenleted, és a mértani sorozat definíciója miatt csak 2 ismeretlened:

(1) a1 + a2 + a3 = a1 + a1*q + a1*q^2 = a1*(1 + q + q^2) = 91,

(2) a6 + a7 + a8 = a1*(q^5 + q^6 + q^7) = a1*q^5*(1 + q + q^2) = 2912.

a1 nem lehet nulla, mert akkor bármely tagok összege 0, 1+q+q^2 sem lehet 0, mert a 1 + q + q^2 = 0 egyenletnek nincs valós gyöke, és valahol pozitív, tehát mindenhol pozitív.

A (2) egyenletet osztva az (1)-gyel:

q^5 = 2912/91 = 32 --> q = 2. (Valósak felett más ilyen szám nincs is.)

Ezt 1-be helyettesítve a1*(1+2+4)=91 --> a1=13.

Mivel ez a mértani sorozat szigorúan monoton növekszik, valamint az összes 13 jegyű szám 10^12-nél nagyobb vagy egyenlő, és 10^13-nál kisebb, tehát az a feladat kérdése, hogy hány darab olyan n pozitív egész szám van, amire

10^12 <= 13*2^n és 13*2^n < 10^13.

Az első egyenlőtlenségből 2^n >= 10^12/13 --> n >= log[2](10^12/13) kb 36,16, és a másodikból hasonlóan n < log[2](10^13/13) kb 39,48, azaz n lehet 37, 38 és 39, ami azt jelenti, hogy összesen 3 darab 13 jegyű tagja van a sorozatnak.

Én is most írtam le papírra, de akkor nem szkennelem be :D

Kicsit pontosítanék az elsőn: a sorozat n-edik tagja 13*2^(n-1), ezért a 38,39,40. tagok a keresettek bár ez nem változtat a tényen, hogy 3 ilyen szám van.