Mi ennek a feladatnak a megoldása? (Vezesd is le, légyszíves)

@Sajtoskifli:

"amelynek elemei pozitív egész számok"

Csak az egész számok érdekesek, ez elkerülte a figyelmedet, úgyhogy ez miatt csak véges számú megoldás van.

x^2-y^2=(x+y)(x-y)

Ha mindkettő egész, akkor az x+y és az x-y is egész, tehát az (x+y), (x-y) az 1980 osztópárjait vehetik fel értékként, ráadásul mivel csak pozitív számok lehetnek x és y, ezért az x+y lesz a nagyobb osztó. Ebből meg már csak végig kell nézni az 1980 minden osztópárjára, hogy abban az esetben mi lesz az x, és mi az y.

Pl megcsinálom neked az 1,1980 osztópárt.

Ekkor x+y=1980, x-y=1, ekkor x=1981/2, y=1979/2

Ez akkor nem jó, mert itt nem egészek.

Akkor nézzük a következő osztópárt, a 2,990 et. És így végig.

Nem olyan nehéz ez a feladat.

Elméletileg a következő a helyzet.

x² - y² = N

A nevezetes szorzat szerint

(x - y)(x + y) = N

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha a bal oldal mindkét tényezője osztója a jobb oldalnak.

Tegyük fel, hogy N összetett szám, és van n darab osztója.

Az előző egyenlet megoldása úgy kapható, hogy vesszük a N konjugált osztóit, vagyis azokat, melyeknek a szorzata = N.

Ha egy ilyen osztópár d1 és d2 (az osztópárok száma egyébként n/2)

akkor

N = d1*d2

Ezekkel a fenti egyenlet

(x - y)(x + y) = d1*d2

vagyis írható, hogy

x - y = d1

x + y = d2

legyen d2 > d1

A két egyenletet összeadva

2x = d1 + d2

így

x = (d1 + d2)/2

===========

A két egyenletet kivonva egymásból

2y = d2 - d1

y = (d2 - d1)/2

==========

Ez a két összefüggés bármely számra érvényes, de a feladatban az a megkötés, hogy pozitív egész megoldások kellenek.

Az látható, hogy x és y csak akkor lesz egész szám, ha d1 és d2 mindegyike páros vagy páratlan.

Lássuk a feladat számát

1980 törzstényezői

1980 = 2²*3²*5*11

Az osztók száma:

d = 3*3*2*2 = 36

d(1980) = 36

Így az osztópárok száma: 18

A törzstényezőkből látszik, hogy két páratlan osztópárja nem lehet a számnak.

Páros osztókat úgy kaphatunk, ha a három páratlan törzstényezőből adódó szorzatokat megszorozzuk 2-vel.

vagyis a

2*(3²*5*11)

szorzatok adják a megoldást.

A 3-as kitevője 0-tól 3-ig,

az 5 és 11-é 0-tól 2-ig terjed.

Csak az első négyet írom le, a többi ez alapján számolható:

2*(3º*5º*11º) = 2

2*(3º*5º*11¹) = 22

2*(3º*5¹*11º) = 10

2*(3º*5¹*11¹) = 110

...

A zárójelben levő számok kitevőiből az előállítható osztók száma: 12

ezért a feladat megoldását jelentő osztópárok száma: 6

Ezek

2 990

6 330

10 198

18 110

22 90

30 66

Most már jöhetnek a megoldások.

Próbaképp egy x-y pár ezek alapján a következő:

Legyen

d1 = 18

d2 = 110

így

x = (18 + 110)/2

x = 64

=====

y = (110 - 18)/2

y = 46

=====

A négyzetük különbsége

N = 64² - 46²

N = 1980

Ki lehet próbálni a többi párt is. :-)

DeeDee

***********