4x^2-4px+ (p^2-2p+2) polinom legkisebb értéke a [0;2] intervallumban 3 milyen p esetén valósul meg?

Tekintsd függvénynek.

f(x) = 4x^2-4px+ (p^2-2p+2)

f'(x) = 8x-4p

Akkor van szélsőértéke, ha f(x) = 0, jelen esetben, ha 8x-4p = 0. Vagyis p = 2x

Akkor van minimuma, ha f''(x) > 0

f''(x) = 8, tehát mindig minimumot fogunk kapni.

Innentől tiéd a feladat.

He? Első, azt hiszed, ha tudsz deriválni, akkor már okos vagy?

OFF vége

3-féle módon lehet 3 a minimum a [0; 2] zárt intervallumban.

1) 0-ban a polinom értéke 3, és utána monoton nő az intervallumon belül, azaz a minimum helye 0 előtt van.

2) 2-ben az értéke 3, és előtte monoton csökken, azaz a minimum helye 2 után van.

3) Valahol az intervallumban van a minimuma és ez 3.

(Mindig minimuma van, mert a másodfokú tag főegyütthatója pozitív.)

1) Hogy 0-ban a polinom 3, az azt jelenti, hogy

4*0^2 - 4*0*p + (p^2 - 2p + 2) = 3.

Ez egy másodfokú egyenlet p-re, a két megoldása:

p1 = 1 - gyök(2), p2 = 1 + gyök(2).

Ha ezeket beírjuk lesz egy-egy sima másodfokú polinomunk. Ennek minimuma van a gyökök átlagában, ami a gyökök és együtthatók közti összefüggések miatt p/2-nél van (x1 + x2 = -b/a, ha x1 és x2 gyöke ax^2 + bx + c = 0-nak).

p1 esetén ez 0 előtt van, tehát p1 jó megoldás, p2 esetén 0 mögött, tehát a p2 nem jó megoldás.

2) 2-ben a polinom 3, azaz

4*2^2 - 4*2*p + (p^2-2p+2) = 3.

p1 = 5 - gyök(10), p2 = 5 + gyök(10).

A minimum hely p1 esetén 2 előtt van, p2 esetén 2 után, tehát p2 jó megoldás.

3) A gyökök és együtthatók közti már (kétszer) felhasznált összefüggés miatt ennek a minimuma x = -p/2-nél van. Azt szeretnénk, hogy ez 3 legyen, és a [0; 2] intervallumon legyen. Helyettesítsünk be p/2-t.

4*(p/2)^2 - 4*p*(p/2) + (p^2-2p+2) = 3.

Ez elsőfokú egyenlet, megoldása p = -1/2. A minimumhely -1/4-nél van, tehát nincs az intervallumban.

Összegezve: p = 1 - gyök(2) vagy p = 5 + gyök(10).

Remélem nem számoltam el. Ha kérdésed van még ezzel kapcsolatban, akkor nyugodtan tedd fel!

OFF

Oops... Első, bocsánat, hogy előbb durva voltam... Összekevertelek valakivel.

OFF vége