Hány építőkocka marad felhasználatlan, ha Aladár egy időben többféle lépcsőt építhet és a elhető legtöbb kockát szeretné felhasználni?

Hát ez aztán tényleg nehéz, csak írni kell a sort tovább.

1 szintű lépcső: 1 kocka

2 szintű lépcső: 1 + 3 = 4 kocka

3 szintű lépcső: 1 + 3 + 5 = 9 kocka

4 szintű lépcső: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 kocka

Amúgy a kockák száma mindig négyzetszám lesz. n szintű lépcső esetén n*n db kocka szükséges.

Innen már csak meg kell nézni, hogy melyik a legnagyobb négyzetszám, ami még kisebb vagy egyenlő 150-el. Ez a 144, azaz a 12^2, amiből egy 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 kockából álló, tehát 12 szintes lépcső építhető. Ebből következően 6 kocka marad.

2xSü, én úgy értem, hogy többfélét is építhet, tehát a maradék hatból felhasználhat 4-et, marad kettő.

Vagyis inkább az lesz a kérdés, hogy a 150 felbontható-e 2 vagy több négyzetszám összegére maradéktalanul.

Ha több lépcsőt is építhet, akkor pl. így: 11^2 + 5^2 + 2^2.

De hogy erre van-e külön eljárás, hogy egy számot felosszunk négyzetszámok összegére, azt most így hirtelen nem tudom. Vagy hogy hogyan lehet megállapítani, hogy egy nagy szám felírható-e négyzetszámok összegeként. Illetve ez biztos, hiszen az 1 is négyzetszám, 1-esek összegeként meg bármelyik természetes szám felírható, inkább úgy írom, felírható-e mondjuk különböző és/vagy 1-nél nagyobb négyzetszámok összegeként.

(A feladatban ugye kérdéses, hogy építhet-e azonos méretű lépcsőket egyidőben. Ilyen kikötés nem volt, tehát igen. Illetve kérdés, hogy lépcsőnek tekintünk-e egyetlen kockát, hiszen az egy egy szintes lépcső, vagy mindenképpen legalább két szintes kell, hogy legyen egy lépcső. Ha lehet egyszintes, akkor nem is kell építeni, eleve lépcső minden egyes kocka.)

"Vagyis inkább az lesz a kérdés, hogy a 150 felbontható-e 2 vagy több négyzetszám összegére maradéktalanul."

Négy négyzetszám összegére MINDEN pozitív egész felbontható.

Három négyzetszám összegére MINDEN, KIVÉVE a 4^n*(8k+7) alakú számok.

Két négyzetszám összegére akkor és csak akkor, ha a prímfelbontásában a 4k+3 alakú prímek kitevője páros.