A (-1;4;-2) b (1;2;3) Bontsuk fel a-t bvel párhuzamos, és merőleges összetevőkre! Milyen x érték esetén lesz a merőleges b-re? Milyen x értékek esetén lesz alfa topaszög? Határozzuk meg a-val ellentétes irányba mutató egységvektort!

1: Vegyél fel egy 3d-s koord. rendszert!

2: Jelöld be a pontokat és a vektorokat! (x;y;z)

3: Úgy tudod a-nak meghatározni a bre merőleges komponenseit, ha a b-t egyvonalba rakod az egyik tengellyel (szóval a másik kettőt nullázod)

4: Ekkor vedd fel a-nak a komponendeit, majd ha megvan, "táncoltasd" vissza b-t az eredeeti állapotba, és vele együtt a-t!

5: Olvasd le a grafikonról a kérdések válaszait!:)

Tudom, hogy régi a kérdés, de hátha más is jár itt:

Legyenek v és w vektorok a térben. Írjuk fel v-t w-vel párhuzamos és w-re merőleges vektorokkal.

Vp a w-vel párhuzamos komponens.

Vm a w-re merőleges komponens.

v = Vp + Vm természetesen teljesül. Mindkét oldalt szorozzuk skalárisan a w vektorral.

tehát w * v = w * Vp + w * Vm

(vektortérben vagyunk, itt igaz, hogy v(w1 + w2) = (vw1 + vw2))

De w * Vm nulla (skaláris szorzat nulla ha a két vektor merőleges)

Innen: w * v = w * Vp

Másrészt w és Vp párhuzamosak (így definiáltuk Vp-t)

Azaz Vp = ßw ahol ß valamilyen valós szám.

w * v = w * wß adódik.

w * v = lwl^2*ß (használva, hogy v * v = lwl^2, ahol lwl a w vektor hosszát jelöli, ezzel oszthatunk, mert ez szám, nem vektor)

azaz (w * v)/lwl^2 = ß

Tehát a Vp épp ß-szorosa a w vektornak.

De v = Vp + Vm, innen Vm-et egyszerűen ki tudjuk fejezni.

Két vektor merőleges akkor skaláris szorzatuk nulla,

Felírjuk a skaláris szorzat definícióját és kiszámoljuk az egyenlet megoldásait.

Ha nem merőlegesek ekkor meg felírjuk a definíciót és ez ugyan annyi mint a hosszaik szorzata, szorozva a közbezárt szög koszinuszával, itt is megoldjuk az egyenletet a cosß paraméterrel és megnézzük, hogy mi van, ha ß tompaszög.