Milyen n pozitív egész szám estén lesz az 1! +3! +. + (2n-1)! Négyzetszám? A gondolatmenet is érdekelne.

1! + 3! + 5! + ...+ (2n - 1) -ról állapítsunk meg néhány dolgot.

-> Bármely n-re páratlan, n! - páros, ha n != 1.

-> Ha a kifejezés páratlan, és négyzetszám az egyik-másik n-re => 1, 9, 5 -> re végződhet, mert a páratlan négyzetszámok ezekre végződnek, ha 1-esel végződik a gyöke, akkor a négyzete is 1-el végződik, ha 3-al végződik a gyöke, akkor 9-el végződik, és így tovább.

...

Nézzük, hogy mire végződhet a kifejezés:

n = 1 (1 = 1)-> végződés 1

n = 2 (1 + 6 = 7)-> végződés 7

n = 3 (1 + 6 + 120 = 127) = 127

n = 4 (7 + 120 + 7* 120) is héttel végződik

n = 5 (7 + 120 + 7 * 120 + 7 * 9 * 120)

...

Levonhatjuk a tanulságot, hogy ha n nem 1, akkor 7-el végződik => az egyetlen esetben négyzetszám a kifejezés n = 1-re.

n=1-re igen (1),

n=2-re nem (7),

Nagyobb n-ekre a tagok (5!, 7!, 9!, ...) mindegyike osztható 4-gyel, ezért minden n-re ugyanannyi maradékot ad a kifejezezés 4-gyel osztva, mint n=2-re, azaz 3-at.

Négyzetszám pedig nem adhat 3 maradékot modulo 4.

Tehát n=1 az egyetlen megoldás.