A 30 fok hajlászögű lejtőn 10 cm sugarú, 0,3 kg tömegű korong csúszás nélkül gördül. Mekkora sebességgel éri el a lejtő alját, ha 1,3 m magasból indul? Mekkora lehet a tapadási együttható?

1. Úgy veszem, hogy a korong alja van 1.3 m magasan, így a tömegközéppontja 1.35 m magasról indul, így a NULLA magasságot a lejtő alja fölé 0.05 m magasra teszem.

2. A korong tehetetlenségi nyomatéka: theta=m*r*r/2

3. A mechanikai energia megmaradásából kiindulva oldom meg, vagyis az E(helyzeti)+E(mozgási) ugyanaz fent (f), mint lent (l).

E(helyzeti,f)+E(mozgási,f)=E(helyzeti,l)+E(mozgási,l)

mgh+0=0+E(mozgási,l) //lent benne van a forgási is(!)

mgh=mvv/2 + theta*omega*omega/2 //omega:szögsebesség

// mivel theta=mrr/2 és tiszta gördüléskor omega=v/r -->

mgh=mvv/2 + 1/2(mrr/2)*vv/rr //m kiejtése és egy kis egyszerűsítés után:

gh=vv/2+vv/4 --> (4/3)*gh=vv --> gyök((4/3)*gh)=v -->

v=gyök((4/3)*9.81*1.3) --> v= 4.12 m/s

4.A tapadási súrlódási tényezőről csak azt lehet ez alapján elmondani, hogy legalább mekkora.

Ha nulla volna, akkor a korong lecsúszna, forgás nélkül. A tapadási súrlódás fejt rá ki nyomatékot és így gyorsítja a forgást. Ki kell számolni a nyomatékot, abból tudjuk majd az erőt, abból pedig a tap.s.tényezőt. A nyomaték kiszámolásához elindulhatunk a forgó mozgás alapegyenletéből: M=theta*beta //beta a szöggyorsulás, a nyomaték M=F(súrl)*r, itt beta-t nem ismerjük, így arra kell most külön rágyúrnunk.

beta=(omega megváltozása)/(eltelt idő) ...omega, fentről nulláról indulva elérte az omega=v(lent)/r értéket, tehát a megváltozása is ez lesz. Kérdés, hogy mennyi idő alatt esett meg ez? Ez a lejtő hosszából, a leérkezési sebességből és a nulla kezdősebesség miatt használható vv=2as összefüggésből megmondható, ahol 'a' a gyorsulás, 's' a lejtő hossza (s=h/sin30). Innen

a=vv/2s=vv/(2*h/sin30), mivel sin30=0.5 -->a=vv/4h. Ebből már kijön a leérkezési idő, mert tudjuk a gyorsulást és a leérkezés sebességét is, ahonnan t=v/a=v/(vv/4h)=4h/v. Ebből ugye 'beta' úgy jön ki, hogy

beta=omega-megváltozása/t=(v(lent)/r)/t behelyettesítve 't'-t: beta=(v/r)/(4h/v)=vv/4hr. És akkor most ezt a 'beta' visszatessékeljük a forgó mozgás alapegyenletébe:

M=theta*beta

F(súrl)*r=(mrr/2)vv/4hr Nekünk az F(súrl) kell, mert abban bujkál a keresett együttható is!

(r "kiegyszerűsödik")

F(súrl)=mvv/8h

nmg*cos30=mvv/8h //'n' lesz itt a tapadási együttható

n=vv/gcos30*8h

n = 0.192

HA nem cseszerintettem el a feladatmegoldás elvi részét (mert ezer éve nem fizikáztam) és HA még el sem számoltam sehol, akkor a tapadási súrlódási együttható legalább 0.192 kell, hogy legyen! (Sajnos ez így eléggé kesze-kusza lett, de kávé és reggeli előtt ennyi tellett...)