Adott egy általános háromszög és a belé írható kör. Továbbá a háromszögön belül másik három kör melyek érintik a háromszögbe írható kört és a háromszög 2-2 oldalát. Bizonyítsd be, hogy a három kör sugara nem kisebb a beírható kör suragánál!?

ez 100, hogy nem igaz. nem írtál el semmit?

ha nem akkor meg bizonyitsad be, hogy a kis körök sugara kisebb mint a beirható. te választod meg a háromszög paramétereit. ha már egy esetre bebizonyítod, akkor bebizonyítodtad, hogy nem igaz ez az állítás.

Szia!

Bevezetőként egy megjegyzés: A szöveges feladatoknál nem árt ügyelni a pontos fogalmazásra.

Az általad leírt feladatban a "... három kör sugara nem kisebb a beírható kör suragánál!?" helyett

nem lehetett volna "... három kör sugarának összege nem kisebb a beírható kör sugaránál" formában fogalmazni?

A megoldásomról.

Nem biztos, hogy egy finnyásabb matekos elfogadná, saját magamat sikerült meggyőznöm a helyességéről. :-)

Adott az általános háromszög, az alapon levő csúcsok A és B, a harmadik C.

Berajzoltam a beírt kört, és a feladat szerinti kis köröket.

A nagy kör középpontja O, sugara R, kis körök középpontja O1, O2 és O3, sugaruk r1, r2, és r3

Ezen kivül meghúztam még az O pontot a háromszög csúcsaival összekötő szakaszokat is (szögfelezők),

valamint az O pontból az oldalakra merőleges szakaszt (ezek hossza R Talppontjuk T1, T2, T3), és

az O1, O2, O3 pontokból az oldalakra merőleges szakaszokat (ezek r1, r2, r3 hosszúak).

Először egy csomó összefüggést írtam fel, amikből nem sikerült értelmes eredményt kihozni (az én tudásom a baj),

aztán támadt egy ötletem.

Ha a feladat távolságok összegére kíváncsi, me kellene próbálni összerakni a rajzon is ezeket.

Kiindulásként feltételeztem, hogy

1.) r1 + r2 + r3 = R

Ezután jött az összerakás. Csak az egyik oldalra írom le a megoldásomat, a többire ugyanez érvényes.

Tehát:

Az OT1=R sugárra átvetítettem AB oldallal párhuzamosan az r1 sugarat és

az OB szögfelezővel párhuzamosan az r2 sugarat.

A két metszépont közötti ismeretlen távolságot elneveztem k1-nek.

Így írható

2.) r1 + r2 + k1 = R

Ebből és a kindulási feltételből

r1 + r2 + k1 = r1 + r2 + r3

adódik, hogy az ismeretlen távolság

k1 = r3

tehát a harmadik kis kör sugarával egyenlő, vagyis az OT1 távolság hossza r1 + r2 + r3 = R

Ezzel én bizonyítva látom, hogy három beírt ki kör sugarának összege sem nem kisebb, sem nem nagyobb,

hanem = a beírt kör sugarának hosszával.

********************************************************************************************************************

Ha mindhárom háromszögre - OAB, OBC, OCA - felírva a 2.) egyenletet, majd összeadva őket az adódik, hogy

k1 + k2 + k3 = R

Tehát az ismeretlen szakaszok összege is R hosszat ad ki.

DeeDee