Hogyan kell tört függvényt integrálni?
Az integrál: Int x²/e^x dx. Azt találtam hozzá, hogy:
Int fdg = fg - Int gdf, f=x²,g=-1/e^x, df=2x dx, dg= 1/e^x dx
Majd ugyan ezt mégegyszer, csak f=x, df=dx.
Ezt el tudná valaki magyarázni, vagy egy másik módszert mutatni?
válasza:Hátulról a harmadik egyenlőségnél elhagytál egy előjelet:
„-x*e^-x - Int -e^-x dx = x/e^x -(-(-e^-x))”
Amúgy stimmel. A végeredmény helyesen
–(x + 1)/e^x + C.
(A +C kell oda, különben rád kiabálnak. :D
[link] )
És akkor az eredeti problémában ezt helyettesítve:
Int x²/e^x dx = –x^2*e^(–x) –2*(x + 1)/e^x + C = –(x^2 + 2*x + 2)/e^x + C.
válasza:Na, akkor ahogy ígértem, egy érdekesebb, amin rágódhatsz:
int(e^x*sin(x)) = ?
(Amúgy xkcd-linken is azt a jelölést alkalmazzák, amit én az imént alaposan lehurrogtam… No mindegy. Szerintem a vesszőzés akkor is kevésbé megtévesztő.)
válasza:Ugye minden határozatlan integrálban van egy konstans. (Teszem azt ha h(x) = H'(x), akkor ugyanúgy h(x) = (H(x) + C)' = H'(x) + C' = H'(x) + 0.) Ezért az utolsó határozatlan integrál elvégzésekor kell kiírni a konstanst.
int(izé) = valami + int(bizé) = valami + a + c + b + int(e^x) = valami + a + c + b + (e^x + C),
és itt a végén fontos a konstans, korábban mindig benne van az integrálban is.
De ha biztosan nem akarod elfelejteni, akkor úgy is kezdheted, hogy
int(vav) = C + valami + int(másvalami),
csak ha véletlen rendezned kell, akkor kicsi zavaró lehet. Emiatt csak a végén (az utolsó integrálásnál) szokás kiírni.
Int e^x * sin(x) dx. f=sin(x), g=e^x. Int g dx = e^x. Ekkor az lesz, hogy Int fg' dx = fg - Int f'g dx= e^x*sin(x) - Int cos(x)*e^x dx. Legyen f= cos(x), g=e^x. Ekkor az integrál az lesz, hogy: Int fg' dx = fg - f'g dx = cos(x)*e^x - Int -sin(x)*e^x dx. Vissza írva: e^x*sin(x) - (cos(x)*e^x+Int sin(x)*e^x dx)= e^x*(sin(x)-cos(x)) - Int sin(x)*e^x dx. Vissza térve a kiinduláshpz:
Int e^x*sin(x) dx = e^x(sin(x)-cos(x))- Int(e^x*sin(x)) dx.
Int e^x*sin(x) dx = e^x(sin(x)-cos(x))/2 +C. Ez így jó?
Az ötlet onnan jött, hogy a szinusz, koszinusz integrálja, deriváltja "váltakozik, sose lesz vége", mint az x^n nek, ezért valahogy vissza kell térni a kiinduláshoz.
válasza:A végeredmény stimmel, valószínűleg a többi is.
Akkor elengedlek, az alapötleteket ezzel kapcsolatban már tudod.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!