Milyen matematikai módszerrel lehet kiszámolni (számológép/számítógép nélkül! ) bizonyos számok négyzetgyökét, köbgyökét?
Pl. mi a 11 négyzetgyöke? És a 23 köbgyöke?
Persze, kiszámolom számítógéppel, és megvan a megoldás. Na de hogyan lehetne ezeket ilyen elektronikus segédeszközök nélkül kiszámolni, szimplán egy közönséges toll, egy papír, meg egy matematikai módszer segítségével?
Olvastam valahol, hogy már az időszámításunk előtt is képesek voltak kiszámolni bizonyos számok gyökét, köbgyökét, és példának felhozták az 2-t, hogy annak a számnak pl. kiszámolták 5 tizedesjegy pontossággal. Lássuk csak. Több mint 2000 évvel ezelőtt meg tudták oldani, akkor valószínű most is meg lehet. De vajon hogyan? Nem vagyok túl jó ezekben, ha valaki megteszi hogy leírja, akkor kérem szépen részletesen, és érthetően. Amúgy elég jól megy az elemi (azaz a középiskolában tanult) algebra, 5-ös volt az érettségim matekból.
válasza:Olyan sort kell keresni, ami a végtelenben előállítja a keresett számot. Utána le lehet ülni egy ceruzával, és addig számolni amíg el nem unod.
Általános:
A függvényt Taylor-sorba kell fejteni, és egyszerű alapműveletekkel kiszámítható tetszőleges pontossággal. Ezt használják pl a számológépek is.
Az ókorban nem ezt csinálták, hanem ötleteltek, és a külön esetekre külön végtelen sorozatokat találtak.
válasza:Egész számból tudunk papíron négyzetgyököt vonni: [link]
Természetesen ezt ki lehet terjeszteni valós számokra is.
Amúgy √2-t kiszámolni nem nagy kunszt.
A √2 kb. úgy saccra 1,5
Oké. 1,5 * 1,5 = 2,25.
Ez kicsit sok, nézzük az 1,4-et:
1,4* 1,4 = 1,96
Majdnem, nézzünk egy 1,42-t:
1,42 * 1,42 = 2,0164
Több lett, nézzünk egy 1,41-et.
1,41 * 1,41 = 1,9881
Valahol tehát 1,41 és 1,42 között van. Nézzünk egy 1,415-öt:
1,415 * 1,415 = 2,002…
Nézzünk egy 1,414-et
1,414 * 1,414 = 1,99…
Tehát 1,414 és 1,415 között van valahol, nézzünk egy 1,4145-öt:
stb., stb…
Oké, ez tényleg nem nagy dolog, egy általános iskolás kiszámolja sok pontossággal, csak írásban kell tudnia szoroznia. Csak figyelem, idő és papír kérdése az egész. Persze az ókorban az nehézséget okozott, hogy nem volt egy ennyire könnyen kezelhető számrendszer.
Már értem. Nem is olyan nehéz. Köszönöm.
Ha esetleg valaki tud még ezeken kívül valamilyen módszert, azt is szívesen várom.
válasza:Pl. mi a 11 négyzetgyöke?
Tudjuk, hogy kb 3.
Pontosabban: ( 3 + 11/3 )/2 = 3,33333333
Pontosabban: ( 3,33333333 + 11/3,33333333 )/2 = 3,31666667
Pontosabban: ( 3,31666667 + 11/3,31666667 )/2 = 3,31662479
√11 értéke 8 tizedesre pontosan ugyanennyi.
válasza:És a 23 köbgyöke?
Tudjuk, hogy kicsit kevesebb mint 3. (3*3*3=27)
Pontosabban: ( 2*3 + 23/3^2 )/3 = 2,85185185
Pontosabban: ( 2*2,85185185 + 23/2,85185185^2 )/3 = 2,84388932
Pontosabban: ( 2*2,84388932 + 23/2,84388932^2 )/3 = 2,84386698
"Pontosabban: ( 3 + 11/3 )/2 = 3,333333
Pontosabban: ( 3,333333 + 11/3,333333 )/2 = 3,31666667
Pontosabban: ( 3,31666667 + 11/3,31666667 )/2 = 3,31662479"
Ilyen pontosításokat hogyan tudsz csinálni? Honnan szedted mondjuk a ( 3,333333 + 11/3,333333 )/2 -t?
válasza:Tehát jelöljük a „saccolásokat” s[n] -el.
Ekkor √x esetén:
s[n+1] = (s[n] + x/s[n]) / 2
s[n+2] = (s[n+1] + x/s[n+1]) /2
Ahol lim[n→inf] s[n] = √x
³√x esetén meg:
s[n+1] = (2*s[n] + x/s[n]²) / 3
s[n+2] = (2*s[n+1] + x/s[n+1]²) / 3
Ahol lim[n→inf] s[n] = ³√x
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!