Bizonyítsd be, hogy van olyan két irracionális szám, amelyre teljesül, hogy a^b = racionális szám?

b = √2 = 1.41421356237309504880168872420...

a = 2^(1/√2) = 1.6325269194381528447734953810...

a^b = 2

Ez a példa nem jó, mivel sqrt(2)^(2^(1/sqrt(2)))=/2 !

Ennek a következő a bizonyítása:

Legyen a=b=sqrt(2), ha a^b racionális, akkor kész vagyunk

ha nem, akkor irracionális és ekkor legyen

a=(sqrt(2))^(sqrt(2)), b=sqrt(2)

a^b=(sqrt(2))^(sqrt(2)*sqrt(2))=(sqrt(2)^2 racionális

Ami érdekes a dologban, hogy ebből nem tudjuk, hogy a két esetből melyikben lesz a^b racionális, de egyikben mindenképpen.

"Ez a példa nem jó, mivel..."

Ez a példa jó, csak felcserélted a-t és b-t.

Ahogy a saját bizonyításodban is... :D

[link]

Ok, akkor viszont már csak azt kell bizonyítani, hogy 2^(1/sqrt(2)) irracionális

Egy kukkot se értek az eddigiekből.

A kérdést jól értem? Mert akkor az a kérdés, hogy ha a és b irrac, akkor lehet-e a^b rac.

És erre nem nehéz példát adni. Legyen a= gyök(10) és b=lg9

Mindkettőről könnyű belátni, hogy irrac, indirekt bizonyításokkal.

Nomármost a^b= gyök(10)^lg9=gyök(10^lg9)=gyök(9)=3, ami rac.

És kész.