Folytonos-e a függvény az x0 helyen, ha ott differenciálható?

De rég volt ez, azért remélem nem írok hülyeséget.

Tegyük fel, hogy a függvénynek X0-ban szakadása van, de attól balra, jobbra is folyamatos.

Így a függvény az x balról tart x0-hoz és az x jobbról tart x0-hoz "szakaszokon" is differenciálható. De magában az x0 pontban nem.

Nem úgy van, hogy a differenciálhatóságnak szükséges, de nem elégséges feltétele a folytonosság? Én még nem láttam olyan függvényt, ami differenciálható lett volna olyan helyen, ahol szakadt, de lehet, hogy rosszul tudom.

Mindenesetre egy példát mutathatnál ilyen függvényre, legalább látnék olyat is :)

"Én még nem láttam olyan függvényt, ami differenciálható lett volna olyan helyen, ahol szakadt, de lehet, hogy rosszul tudom."

Szerintem jól tudod.

De a tgX is diffható nullától balra és jobbra is. Csak nullában nem.

Mindenesetre, a kérdező kérdésére visszatérve, az adott pontban diffhatóságnak (szükséges de nem elégséges) feltétele, hogy adott pontban a függvénynek NE legyen szakadása. Visszafelé ez egyértelműsíti, hogy ha diffható, akkor tutira folytonos.

DE csak egy adott lokális tartományban kell annak lennie.

> Visszafelé ez egyértelműsíti, hogy ha diffható, akkor tutira folytonos.

Egyébként amit #1-ben és #6-ban írtál, az nagyon nem egyértelműsít semmit.

Alapból csak olyan függvényekről szól, amelyek az x_0 ponttól balra és jobbra is folytonosak (így kezdted).

#7: Ja, persze, azok NEM az X0-ban diffhatóak, bocs, ha bezavaró volt.

Nem volt teljesen releváns. Azért került oda, mert hátul közben járt az agyam, hogy ilyenkor a szakadási pontnak bal és jobb oldalán is van egy differenciálérték, a kettő lehet teljesen eltérő is, de koordinátában kifejezve tulajdonképpen pl. a tangensre x->"-0" esetén is ott egy differenciál, meg x->"+0" esetén is.

Persze, ez nem maga az x=0 pont, csupán a végtelenül közeli környezete. A zárt és nyílt halmaz közt való életben szinte nincs különbség, itt meg ég és föld.

Szóval tényleg inkább bezavaró volt, mint ideillő.

Várjunk, 6-ossal mi a baj?

"Alapból csak olyan függvényekről szól, amelyek az x_0 ponttól balra és jobbra is folytonosak (így kezdted)."

Nos, minimum egy oldalról annak kéne lennie, egyetlen pont nem lehet folytonos.