Folytonos-e a függvény az x0 helyen, ha ott differenciálható?

Hmmm?

Egyetlen pont, szomszédos pontok nélkül?

Arra még diffhányadost sem tudsz felírni.

> Tegyük fel, hogy a függvénynek X0-ban szakadása van, de attól balra, jobbra is folyamatos.

Itt arról írsz, hogy a függvény folytonos, vagy arról, hogy létezik?

Hmm, kompletten nem folytonos.

Példálóztam a tangenssel.

Lokálisan folytonos (nyílt halmazként).

X=0 helyen nem értelmezett. De mínusz végtelentől 0-ig, illetve 0-tól + végtelenig folytonos, monoton és diffható.

X=0 helyen meg nem diffható.

Nem nagyon tudok olyan függvényt elképzelni, aminél fennállna olyan helyzet, ami előbb felvetődött, hogy a függvénynek van 1 értelmezett pontja, attól balra-jobbra szakadás, mégis diffható.

Nincs olyan fogalom, hogy egy függvény nyílt halmazként lokálisan folytonos.

Az ilyen kérdéseknél általában feltesszük, hogy a függvény x_0 egy környezetében értelmezve van. (Gyakran a folytonosság definíciójába is belértik.)

Ellenpéldákat tudsz találni a kapcsolódó kérdések között.

"Az ilyen kérdéseknél általában feltesszük, hogy a függvény x_0 egy környezetében értelmezve van. (Gyakran a folytonosság definíciójába is belértik.) "

Vagyis az értelmezési tartománnyal megadjuk a nyílt halmazt, nem?

Wadmalac - Egész biztos, hogy nem a kotangensre gondolsz? Tudomásom szerint a tangens nagyon is értelmezve van X=0-ban, és ott differenciálni is lehet. Ha jól emlékszem, a diffhányadosának az értéke 1 lesz.

"De mínusz végtelentől 0-ig, illetve 0-tól + végtelenig folytonos, monoton és diffható"

Ez így ebben a formában szerintem ismét nem helyes. Bizonyos intervallumokon folytonos, azonban egészként nem. Ha helyes lenne, amit írtál, akkor mondjuk 87 foknak a tangense (sokkal) kisebb kéne legyen, mint 180 foknak, ami azért nem éppen igaz.

Kérdező: Legjobb tudomásom szerint igen, ahogy már előttem is írták, a folytonosság szükséges, de nem elégséges feltétele a differenciálhatóságnak. Ez következik az értelmezéséből is - A diffhányados végülis az érintő meredéksége. Ha nem folytonos a függvény, kicsit nehezen lehet érintőt húzni.

#16:

A szögfüggvény perioditásával nem is gondolkodtam, csak a tengely körüli résszel és igen, összecseréltem a ctg-t a tg-vel. Sorry. Jobb lett volna 1/x-re hivatkoznom,az jobban hozza, amire gondoltam.