Helyes az a megállapítás, hogy a pi egy soha véget nem érő szám?

Ne felejtsük el, hogy a matematika absztrakció!

> A pi meghatározása határérkét számitással történik.

Igen, tegyük hozzá, hogy pl. a √2-é is. Fogsz egy tetszőleges becslést kiindulásképpen. Mondjuk 1,5.

f(0) = 1,5

Rekurzióval definiálva veszed a következő sorozatot:

f(n+1) = ( f(n) + 2/f(n) ) / 2

Ekkor

lim{n→∞} f(n) = √2

De hasonló módon kvázi a legtöbbször használt irracionális számokat valamiféle összefüggés mentén, határértékként tudunk adott pontossággal kiszámolni.

~ ~ ~

> De a kör adott a valoságban kell lennie egy pontos értéknek vagy hogy van ez pontosan.

Igen, de a kör egy absztrakt fogalom. Természetesen tudunk rajzolni „valódi” kört is, de csak bizonyos pontatlansággal, lévén a ceruza hegyének van vastagsága, a papír nem egyenletes. Vagy lemezből is ki tudunk vágni egy kört, csak ugye atomok vannak, stb… A körív hossza mérésének is van mérési pontossága (illetve pontatlansága). A √2 is egy absztrakt négyzet átlójának hossza. Még könnyebb dolgunk is van vele, hiszen egyenesként euklideszi szerkesztéssel megszerkeszthető, ha van egy egységszakaszod. De a valóban tollal, ceruzával megrajzolt négyzetátlót is csak adott pontossággal tudod megmérni, ha sima vonalzót használsz, akkor mondjuk ±0,5 mm pontossággal, ha tolómérővel méred, akkor mondjuk ±0,05 mm pontossággal. Ha most egy 1 km-es négyzetet sikerülne csinálnunk mikrométer pontossággal, és mikrométer pontossággal le tudjuk mérni az átlóját, akkor is csak annyit tudunk a √2-ről, hogy:

1,414213562 < √2 < 1,414213563

> Tehát semmilyen elvi akadálya nincs a feltételezésnek hogy létezik egy tökéletes kocka.

Négyzet… Bár ha van tökéletes kockánk, akkor van tökéletes négyzetünk is. Viszont van elvi akadálya annak, hogy létezhessen tökéletes négyzet. Elsőnek induljunk ki egy teljesen homogén anyagból. Mi valamit lemérni, valamit méretre vágni csak valamilyen pontossággal tudunk. A természet is. A négyzet oldalai így valamilyen pontatlanságúak, ha az egyik oldal a hosszúságú, akkor másik a±x% pontosságú lesz.

És itt jön az első elvi akadály. A racionális számok halmazának számossága végtelen (ugye ide tartoznak az egész számok is). Az irracionális számok halmazának számossága is végtelen, de az irracionális számok valós számok, a valós számok számossága viszont végtelenszer nagyobb. (És ez is pontatlan megfogalmazás, mert szorzással nem lehet elhagyni egy számosságot.) Így adott intervallumban minden racionális számhoz végtelen számú valós szám társul. Bár a racionális számok a valós számok egy sűrű részhalmaza – bármely két valós szám között végtelen számú racionális szám áll –, a racionális számok nem folytonosak, ellentétben a valós számokkal.

Kicsit egyszerűbben megfogalmazva, bármilyen hosszúságot veszel, annak az esélye, hogy ez a hosszúság – adott mértékegységben – irracionális szám lesz, annak az esélye végtelenszer nagyobb, mint az, hogy a távolság racionális szám lesz. Ha most a kvázinégyzetünk egyik oldalát vesszük mértékegységnek, akkor végtelenszer nagyobb az esélye, hogy a másik oldal ennek az oldalnak az arányában irracionális szám lesz, mint hogy racionális szám. Márpedig ha a két oldal azonos oldalhosszúságú, akkor az oldalak egymáshoz viszonyított aránya 1:1 lesz, ami racionális.

Még rövidebben: 1:∞, azaz gyakorlatilag 0 az esélye, hogy egy teljesen homogén anyagból kivágott kvázinégyzet oldalai azonos oldalhosszúságúak legyenek.

~ ~ ~

Ráadásul az anyag nem homogén, hanem atomokból áll, azok meg ráadásul rezegnek is, ráadásul az elemi részecskék kiterjedése sem értelmezhető, mert a pozíciójuk egy eloszlásfüggvény, kvázi az atom határa olyan, mintha azt kellene meghatároznod, hogy egy feketéből a fehérbe tartó folyamatos színátmenetnél hol végződik a szürke és hol kezdődik a fekete. Ráadásul még a Heisenberg-féle határozatlansági reláció is közrejátszik.

A „tetszőleges pontossággal megszerkeszthető” tehát nem egy fizikai kategória, hanem egy absztrakt, matematikai kijelentés.

~ ~ ~

Nota bene nem csak az irracionális számokra igaz ez. Ha lenne is egy végtelenül pontos méter etalonod, akkor a π méter hosszúságot kimérni nem kevésbé lehetetlen, mint egy pontosan 2 méter hosszúságú valamit kimérned, az is minden lesz, 1,9999982 m, vagy 2,0000071 m, csak pontosan 2 méter nem.

~ ~ ~

Mondok még egy érdekes dolgot, aminél a fizikai és az absztrakt összekeveredése ellentmondásra vezet. Mondjuk fogod az 1/x^2 függvényt. Az így néz ki: [link] . Veszed ennek a görbének az x≥1 részét. Ezt a görbét megforgatva az x tengely körül kapsz egy tölcsért. Ennek a tölcsérnek az az érdekes tulajdonsága van, hogy a felülete végtelen, a térfogata viszont véges.

(A görbe alatti terület: ∫{1…∞} 1/x² = 1)

Mivel a térfogata véges, így véges mennyiségű festékkel fel lehet tölteni ezt a tölcsért. Viszont mivel a felülte végtelen, ezzel a véges mennyiségű festékkel végtelen kiterjedésű felületet sikerült befestened. Ez még hagyján, de a festék – mint test – bármelyik találomra kiválasztott pontja végtelenszer nagyobb eséllyel helyezkedik el a test belsejében, mint a felületén. Ergo a festék jelentős – végtelenszer nagyobb – része nem érintkezik a felülettel, tehát azt ki lehet belőle önteni, a tölcsér így is befestve marad. Ergo ugyanannyi festéket kiöntve a tölcsérből, mint amennyit beletöltöttél, a tölcsér belső felülete befestve marad. Azaz 0 mennyiségű festékkel sikerült egy végtelen felületet befestened.

Nyilván ez a fizikai világban lehetetlen, mert a festék anyag, atomokból áll, azoknak van egy kvázi közmegegyezéses átmérője, így a festékrétegnek legalább 1 atom vastagnak kell lennie, így a festékrétegnek van térfogata. De a matematikai absztrakcióban az anyag homogén, a felületnek nincs vastagsága, az egy kétdimenziós konstrukció, így a festékrétegnek 0 a térfogata. Egy felület lehet végtelen, attól még vastagság hiányában a térfogata 0.

Szóval nem szabad összekeverni a fizikai valóságot a maga speciális jellegzetességeivel, és az abból absztrahált, attól elvonatkoztatott matematikai fogalmaktól. A fizikai vonalnak, amit ceruzával rajzolsz van vastagsága, a matematikai értelemben vett vonalnak viszont nincs, nulla a vastagsága, így te nem tudsz fizikai szinten a matematikai absztrakciónak megfelelő vonalat rajzolni.

Alapvetően férre érted a dolgot. Soha nem állitottam olyat hogy tökéletesen megszerkeszthető.

De az állitásod alapján pl egy háromszőg se létezik 3, 4, 5, egységnyi oldalakkal. Ezeket mégis pontosan ismerjük, és konkrét számok. Ez a háromszőg pontosan annyira létezik és olyan pontosan mint egy derékszögűháromszőg két 2 egységnyi oldallal. Persze a harmadik oldal hosszát a korábban emlitet okok miat nem tudjuk meghatározni. De attol hogy valaminek a hosszát nem tudjuk meghatározni még létezik.

Persze könnyen lehet hibás a gondolat menet csak egy hirtelen ötlet. És ha hibás hol? (A mérésnek ehez semmi köze)