Hogyan kell kiszámítani a deriváltat?

A függvénynek minden pontban van egy meredeksége, ezt nevezik differenciálhányadosnak. Ezeknek a differenciálhányadosoknak az összessége szintén egy függvényt ad, ez a deriváltfüggvény.

Deriválni úgy kell, hogy vannak bizonyos alapfüggvények, amiknek ismerjük a deriváltját, és vannak bizonyos deriválási szabályok. Ezek alapján minden függvény deriváltját ki tudjuk számolni (már amelyiknek van ilyenje).

Egyszerűen,

Legyen egy függvény, f(x)

Ezesetben: (f(x+"delta"x)-f(x))/"delta"x leegyszerűsítésével meg is kapjuk az eredményt. Ez egyszerűbb függvényeknél, paraboláknál pl. működik.

Normális analízis vizsgán jó néhány válaszolót megbuktatnának. Ennyire pongyolán nem lehet fogalmazni.

Mindenekelőtt az összes függvény közül rettenetesen kevésnek lehet bárhol kiszámítani a deriváltját. Kicsit többnek, bizonyos szakaszokon ki lehet, másutt meg nem.

Egy függvénynek van értelme a meredekségét vizsgálni. Ez nem egyéb, mint két pontban felvett értéke különbségének és a két pont távolságának a hányadosa. Ezért differenciahányadosnak nevezzük ezt a számot. Ezután a két pontot közelíthetjük egymáshoz, és ha közben végig van értelme a dolognak, akkor határértékben megkapjuk a differenciálhányadost. Ez egy szám, amely a függvény azon pontbeli meredekségének nevezhető, geometriailag az érintője.

Ha egy függvény értelmezési tartományának egy szakaszán ez minden pontra elvégezhető, és ezt a differenciálhányados értéket hozzárendeljük a ponthoz, akkor kapjuk meg a deriváltat, vagy deriváltfüggvényt. Mert a derivált egy függvény rövid neve.

A kiszámítása padig úgy történik, hogy néhány egyszerű (úgynevezett elemi) függvényről bebizonyítjuk, hogy létezik deriváltfüggvénye, a bizonyítás ezt egyben meg is adja. Utána már csak használjuk (mondjuk egy táblázatból, vagy fejből). Ezen felül, a függvények között bizonyos műveletekre is be lehet bizonyítani szabályokat, ezen túl ezek is táblázatba kerülhetnek.

Ezek után, ha adnak nekünk egy függvényt, el kell döntetünk, hogy szerepel a táblázatunkban, illetve miféle műveletek segítségével adható ő meg a többi felhasználásával. Ha az sikerül, akkor megtudtuk a deriválási szabályt. Ha nem sikerül, akkor vagy nem tudunk eleget, vagy nem lehet ilyen módon kiszámítani (megadni) a deriváltfüggvényt. Ekkor különböző közelítések következnek. De ez már az analízis elvontabb területe.