Tisztán algebrai úton meg lehet ezt oldani? X! = x^3 - x

Felteszem, hogy csak nemnegatív egész x-eket keresel. Ebben az esetben osztunk x-szel, ami nem lehet 0, ekkor:

(x-1)! = x^2-1

A jobb oldalon használjuk az ismert azonosságot:

(x-1)! = (x-1)*(x+1)

Osztunk (x-1)-gyel; x=1 sem lesz az eredetinek megoldása, így nem baj:

(x-2)! = x+1

Kicsit variáljuk meg a jobb oldalt:

(x-2)! = x-2+3

Most osszunk (x-2)-vel; x=2 sem megoldása az eredeti egyenletnek, így:

(x-3)! = 1 + 3/(x-2)

A bal oldal értéke biztosan egész, így a jobb oldalnak is egésznek kell lennie, értelemszerűen x>=3 lehet csak nekünk a jó. A jobb oldal értéke csak úgy lehet egész, hogyha (x-2)|3, ez pedig csak x=3 és x=5 esetén fog működni. Az x=3 szemmel láthatólag sem ennek, sem az eredetinek nem megoldása, de az x=5 igen. Más megoldás nincs, mivel akkor kijött volna (mivel ekvivalens átalakítások lettek végrehajtva, legalábbis az x>=3 halmazon, a 0<=x<3 halmaz elemei pedig menet közben lettek kizárva).

________

Másik megoldás; térjünk vissza az

(x-2)! = x+1

egyenlethez. Az biztos, hogy ha x>=2, akkor (x-2)! >= (x-2)*(x-3), ha erre lecseréljük a bal oldalt, akkor egy egyenlőtlenséget fogunk kapni:

(x-2)*(x-3) <= x+1, ezt az egyenlőtlenséget pedig meg tudjuk könnyedén oldani;

1 <= x <= 5

Ezen számok jöhetnek szóba az eredeti egyenlet megoldásánál, és láthatóan az x=5 lesz a nyerő.

Egy kicsit másképpen:

x! = (x+1)*x*(x-1)

Ebből köv. hogy x+1 egyenlő az x-1-nél kisebb, 1-nél nagyobb számok szorzatával, (x-2)!-sal, tehát 2, 2*3, 2*3*4, ... lehetne.

x+1 nyilván nem lehet 2, vagy 24, vagy még több.

Pici gondolkodással belátható, hogy csak 2*3 lehet. ==> x=5