Hogyan kell levezetni az alábbi trigonometrikus egyenlet megoldását? (elég nehéz)

Hátha ez segít:

[link]

2+cosx=2tg(x/2)

Legyen

x/2=y

Így

2+cos(2y)=2*tg(y)

Ránézvésre az egyenlőség akkor teljesülne, ha

cos(2y)=0

és

tg(y)=1

egyidejűleg teljesülne

Ez pedig csak

y=45

esetén áll fenn, ezért

x=2y=90

a megoldás.

Szellemes az előző válaszoló megoldása, de a kérdező levezetést is kért.

Lássuk, igaza van-e

2 + cosα = 2*tg(α/2)

Legyen

x/2 = y

Így az egyenlet

2 + cos(2y) = 2*tg(y)

Mivel

cos(2y) = cos²y - sin²y

2 + cos²y - sin²y = 2*tg(y)

2(sin²y + cos²y) + cos²y - sin²y = 2*tg(y)

sin²y + 3cos²y = 2*tg(y)

Kiemelés után

cos²y(1 + 3tg²y) = 2*tg(y)

Mivel

cos²y = 1/(1 + tg²y) - le lehet vezetni, vagy a képletgyűjteményből ki lehet nézni

(1 + 3tg²y)/(1 + tg²y) = 2*tg(y)

A

tg(y) = a

jelöléssel az egyenlet

(1 + 3a²)/(1 + a²) = 2a

Beszorzás, összevonás, rendezés után

0 = 2a³ - a² + 2a - 3

alakú harmadfokú egyenletet kapunk. Egy kis trükkel tovább egyszerűsíthető

0 = (2a³ - 2) - (a² - 2a + 1)

0 = 2(a³ - 1) - (a² - 2a + 1)

Az első tag

2(a³ - 1) = 2(a - 1)(a² + a + 1) - ez az azonosság is megtalálható a képletgyűjteményben

A második tag:

a² - 2a + 1 = (a-1)²

így

0 = 2(a - 1)(a² + a + 1) - (a-1)²

(a - 1)-et kiemelve

0 = (a - 1)[2(a² + a + 1) - (a-1)]

A második tényezőt összevonva

0 = (a - 1)[2a² + 2a + 2 - a + 1]

0 = (a - 1)(2a² + a + 3)

A szorzat nulla, ha valamelyik tényezője nulla

az elsőből

a - 1 = 0

a = 1

a második

0 = 2a² + a + 3

egyenletnek nincs valós megoldása, mert

D = 1 - 24 = -23, így marad az

a = 1

megoldás

az

a = tg(y)

1 = tg(y)

y = 45°

Mivel

x/2 = y

x = 2y

x = 90°

======

DeeDee

***********