Van olyan egyenlet megoldás, ami nem írható le műveletekkel?

Leírhatatlan szám szerintem nincs, de majd az okosok megmondják helyettem. Szerintem te a transzcendens egyenletekre gondolsz, ahol hétköznapi műveletek kombinációjával nem tudod kifejezni a változót. Egy nagyon egyszerű példája ennek az alábbi egyenlet:

cos(x)=x

Nem tudod megoldani, csak numerikus módszerekkel a végtelenségig megközelíteni a megoldást.

Na most a legutóbbi egyenlet épp olyan, ami könnyen megoldható, a megoldások: 1; 2; 3; 4; 5.

Amire te gondolsz az a Galois-elmélet egyik következménye, mármint hogy ötöd- vagy magasabbfokú egyenletnek nincs olyan általános megoldóképlete, ami az együtthatókból egy adott (zárt) képlettel (gyökvonásokkal, elemi műveletekkel) megmondaná a megoldásokat.

Tehát nem egy szám fel nem írhatóságáról van szó, hanem a képlet nemlétezéséről.

A Galois-elmélet eléggé felsőfokú algebrai ismereteket használ. (Testelmélet; felbontási testek; ....) Esetleg egyetemi matek szak harmadik évében ismertethető.

Amúgy van egy olyan szám, amit mindenki "ismer", mégsem írható fel: a pi. Épp azért jelöljük egy betűvel, mert nem lehet "felírni", csak bizonyos sorozatok határértékeként, de az megint csak nem "felírása" egy számnak.

Silber által írt cos(x)=x egyenlet tökéletes.

Ismeretes ugyanis, hogy cos(x) Taylor sora:

sum[(-1)^k*x^(2k)/(2k)!] k=0...végtelen.

Tekintve hogy ez minden x-re konvergens, egész nyugodtan beírhatjuk a cos(x) helyére, pusztán elég annyi megkötést tennünk, hogy -1<x<1 és x valós. (Elvileg -1 és +1 megengedhető, azonban ránézésre látjuk, hogy ezek nem megoldások, így akár is zárhatjuk).

Ez tehát azt jelenti, hogy az eredeti trigonometrikus egyenletet egy végtelen fokú egyenletté alakítottuk.

Mivel úgy is csak közelítő megoldást kapunk, hanyagoljuk el a másodfokúnál magasabbfokú tagokat, így az alábbi közelítő másodfokú egyenletet kapjuk:

x^2+2x+2=0

Amire ugye van megoldóképlet: x=0,732.

(Ha ezt visszahelyettesítjük, látjuk hogy 0,1 pontossággal helyes).

A további pontosítás igen könnyen megkapható pl. intervallumfelezés többszöri alkalmazásával.

Megjegyzem, megtehetnénk azt is, hogy pl. negyedfokúig megtartunk minden tagot, ekkor:

(1/24)x^4-0,5x^2-x+1=0

hiányos negyedfokú egyenlet adódik.

Habár ezt analítikusan bonyolult megoldani, levezethető, hogy a megoldása:

x=0,739

ami már ezred pontos.