Határozzuk meg 72 legkisebb olyan többszörösét, amelynek számjegyei között csak a 0 és az 1 szerepel!?

Hmmm… Jó kis kérdés ez, tetszik a feladat.

72=8*9

Tehát ennek a számnak – a 72-nek – a többszörösei is olyan számok lesznek, amik felírható n * 8 * 9 alakban, ahol n∈ℕ, azaz a keresett szám osztható kell, hogy legyen 8-al és 9-el is. Illetve ha osztható 8-al is és 9-el is egy szám, akkor ebből következően oszthatók 72-vel is, hiszen a 8 és 9 relatív prímek, így a kettejük legkisebb közös többszöröse 72.

8-cal osztható egy szám, ha az utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 8-al. Ha a szám csak nullákból és egyesekből áll, akkor ennek kizárólag a 000 tesz eleget. A keresett szám tehát 000-ra végződik.

9-el osztható egy szám, ha a számjegyeinek összege osztható 9-el. Mivel csak egyesek és nullák lehetnek a többszörösben, és legalább egy darab egyesnek lennie kell benne – különben a nulláról beszélnénk –, ebből következően a szám minimum 9 darab egyest tartalmaz.

A kettőt összerakva azt tudjuk, hogy a szám legalább kilenc darab egyest tartalmaz és 000-ra végződik. A legkisebb ilyen szám:

111 111 111 000

Mivel ez a szám megfelel a 8-al és 9-el való oszthatóság szabályának is, így mindenképpen oszthatónak kell lennie 72-vel, de azért ellenőrzésképpen végezzük el az osztást:

111 111 111 000 / 72 = 1 543 209 875