A szorzótábla számainak összegét hogy lehetne egyszerűbben megkapni?

Egy nxn méretű szorzótábla esetén, ha

Sö - a szorzótábla számainak összege

S - a számok összege 1->n

N - a négyzetszámok összege 1->n

akkor

Sö = (S² + N)/2

============

DeeDee

***********

Kis magyarázat a képlethez.

A szorzótábla mátrixa valami ilyesmi lesz:

1[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5, ... n]

2[ 2 , 4 , 6 , 8 ,10, ...2n]

3[ 3 , 6 , 9 , 12,15,...3n]

...

...

n[n, 2n, 3n, 4n, 5n,...n²]

Ha minden sorból kiemeled az előtte levő szorzót, akkor a következőképp néz ki a mátrix:

1[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5, ... n]

2[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5, ... n]

3[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5, ... n]

...

n[1 , 2 , 3 , 4 , 5, ... n]

A szögletes zárójelben levő összeg (S) a számok összege 1-től n-ig

S = n(1 + n)/2

Ezt kiemelve, a mátrixban levő számok összege

Mö = S(1 + 2 + 3 + ...n)

A zárójelben levő mennyiség szintén S, így

Mö = S²

Ebben az összegben még benne vannak a dupla szorzatok - 6*3, 3*6, stb. - is.

Ezeket úgy lehet kiküszöbölni, ha a teljes összegből kivonjuk a főátlóban levő számok összegét, az eredményt elosztjuk kettővel, majd ehhez a hányadoshoz hozzáadjuk a főátló összegét.

A főátlóban a négyzetszámok vannak, ezek összege legyen N.

Így a keresett összeg

Nö = (S² - N)/2 + N

Összevonás után

Nö = (S² + N)/2

============

Apró szépséghibája a képletnek, hogy a négyzetszámok összegzése nem megoldott. Úgy értem, hogy kellene egy olyan összefüggés, amellyel ki lehet számítani az 1-től n-ig terjedő négyzetszámok összegét.

Lehet, hogy csak rövidzárlat, de nem jut eszembe okos ötlet. :-(

DeeDee

************

Egy másik módszer egy más logikával.

Egy sor összege a főátló értékével bezáróan egy olyan számtani sor összege, melynek első tagja k, az utolsó k², a tagok száma pedig k, ezért a sorösszeg:

St= k²(k + 1)/2

(Az St a tiszta sorösszeget jelenti.)

Ezek összege a keresett összeg:

n

Sö = Σk²(k + 1)/2

k=1

vagy másképp írva, ha elcsúszna a szöveg

Sö = Summa(k=1 -> n) [k²(k + 1)/2]

DeeDee

**********