Két természetes szám összege 667, legkisebb közös többszörösük és legnagyobb közös osztójuk hányadosa 120. Melyik ez a két szám?

X=d*a, Y=d*b a két szám, ahol (a,b)=1.

Az "d*(a+b)=667 és a*b=120" diofantoszi egyenletrendszert kellene megoldani.

Legyen a két szám a és b !

Legyen a=lnko*x és b=lnko*y (lnko=legnagyobb közös osztó)

Ekkor a legkisebb közös többszörös az lnko*x*y

Tehát felírható, hogy

lnko*x+lnko*y= (x+y)*lnko=667 és

(lnko*x*y):lnko=120

a második egyenletből egyszerűsítés után :

x*y=120

Nézzük meg a 120 és a 667 prímtényezős felbontását!

667=23*29=lnko*(x+y) ezért vagy lnko=23 és x+y=29, vagy fordítva, vagy pedig lnko=1 és x+y=667

120=2*2*2*5*3

Ezen kívül tudjuk, hogy x és y-nak nincs közös osztója

(a és b összes közös osztóját "belepakoltuk" az lnko-ba)

ezért vagy x=1, y=120, vagy x=8, y=15, vagy x=5, y=24, vagy pedig x=3, y=40 (mivel x és y felcserélhető, ezért nem kell megnézni a fordított eseteket)

ezen esetek közül csak az x=8, y=15-re és az x=5, y=24-re teljesül, hogy x+y=23 vagy x+y=29 vagy x+y=29

innentől már csak annyi a dolgunk, hogy kiszámoljuk az egyes jó esetekhez tartozó megoldásokat lnko-ra a 667=lnko*(x+y) egyenlőség segítségével és ezek után kiszámoljuk a-t és b-t az a=lnko*x és a b=lnko*y -nal

Remélem eléggé ügyesen írtam le és megérted ;)

Sok sikert hozzá

Ui: ja és majd elfelejtettem:

ELLENŐRIZZ

ezen esetek közül csak az x=8, y=15-re és az x=5, y=24-re teljesül, hogy x+y=23 vagy x+y=29 vagy x+y=29*

itt a 29 helyett 667-et akartam írni