Ez hogy lehetséges?

Ez a számelmélet egy tétele, és igaz.

A bizonyításhoz elég a lnko és lkkt definíciója.

Törzstényezőkre bontjuk mindkét számot.

A lnko az a szám, amely olyan prímek szorzata, amelyek mindkét számban szerepelnek. Gyűjtsük ki őket.

A lkkt az a szám, amely olyan prímek szorzata, amelyek legalább az egyik számban a legmagasabb hatványon szerepelnek.

Látható, hogy a lnko és lkkt kigyűjtéséhez csak a két szám valamelyikében szereplő prímek szükségesek, és ezek elegendőek is. Azaz éppen a két szám szorzatának a prímtényezőit gyűjtöttük össze. Q.e.d.

Elsőnek vegyük azt, mikor a két szám relatív prím. Ebben az esetben a LKKT a két szám szorzata lesz, a LNKO meg 1.

Ha mondjuk mindkét szám osztható kettővel, és a LNKO is 2 – azaz más közös osztójuk nincs –, akkor:

a = 2x

b = 2y

LKKT = 2xy

Hiszen 2xy osztható 2x-el és 2y-al is. Tehát ha az LNKO 2, akkor a 2-es szorzó bár mindkét számban kétszer szerepel, a LKKT-be mégis elegendő csak egyszer bevenni, így a LKKT a két szám szorzatának fele lesz.

Ugyanígy végig lehet menni, LNKO minden lehetséges értékén.

Kicsit máshogy megfogalmazva:

Az LNKO ugye meghatározható.

a = LNKO * x

b = LNKO * y

Ha x-nek és y-nak nincs több közös osztója – márpedig nem lehet, hiszen akkor az benne lenne az LNKO-ban is –, akkor a LKKT = LNKO * x * y