Valaki jó matekos? Kéne egy kis segítség? Mi lehet a megoldása a lenti feladatnak?

Ha jól értem, ezeket a számokat írtuk le:

1.: 207

2.: 2007

3.: 20007

.

.

.

n.: 2(n darab 0)7

.

.

.

50.: 2.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.007

Na szóval: egy szám akkor osztható 81-gyel, ha 9-cel osztva egy 9-cel osztható számot kapunk. Egy szám akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel.

Nem nehéz kitalálni, hogy ezekben a számjegyek összege 9, ami osztható 9-cel. Osszuk el ezeket a számokat:

1.: 207:9=23

2.: 2007/9=223

3.: 20007/9=2223

.

.

.

Ezt folytathatnánk a végtelenségig. Észrevehetjük azt a szabályt, hogy az n. számot 9-cel elosztva n darab 2-esből fog állni, az egyesek helyén pedig 3-as szerepel. A számjegyeket összeadva 2*n+3-at kapunk. Az a kérdés, hogy milyen n esetén lesz ez az összeg osztható 9-cel, vagyis a (2*n+3)/9 tört értéke mikor lesz egész (persze n értéke pozitív egész, de legfeljebb 50). Mivel nem számítunk túl sok megoldásra, ezért felírhatjuk egyesével az egyenleteket:

(2n+3)/9=1, amire /*9;-3;:2 n=3

(2n+3)/9=2, amire -"- n=7,5, ami nem lehet, mert n egész (innen láthatjuk, hogy csak páratlan számokat érdemes jobb oldalra írni)

(2n+3)/9=3, amire n=12

(2n+3)/9=5, amire n=21

(2n+3)/9=7, amire n=30

(2n+3)/9=9, amire n=39

(2n+3)/9=11, amire n=48

(2n+3)/9=13, amire n=57, ami már túl sok, így ez már nem lehet. Tehát összesen 5 olyan számot találtunk, amik oszthatóak 81-gyel, ezek:

20.000.000.000.007

20.000.000.000.000.000.000.007

20.000.000.000.000.000.000.000.000.000.007

20.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.007

20.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.007

Tehát a válasz: 5.