Egy derékszögű 3szögbe négyzetet írunk két módon:1:az egyik csúcsa a derékszög csúcsába, egy az átfogón, kettő a befogókon.2. a másik, úgy hogy két csúcsa az átfogóra, kettő pedig a befogóra essen. Melyik négyzet területe a nagyobb?

A sokféle lehetséges megoldás közül az egyik.

Legyen

a, b - a két befogó

c - az átfogó

m - az átfogóhoz tartozó magasság

f - az átfogóhoz tartozó szögfelező hossza

xf - a négyzet oldala az 1) esetben

xc - a négyzet oldala a 2) esetben

A négyzet oldalai a két esetben

1) eset

A négyzet átlója megegyezik a derékszög csúcsából induló szögfelezővel, így a négyet oldalai

xf = f/√2

A szögfelező hossza

f = 2ab*cos45/(a + b)

A szögfüggvény értékének behelyettesítése és egyszerűsítés után

f = ab√2/(a + b)

ebből

xf = f/√2 = ab/(a + b)

2) eset

A levezetés mellőzésével (ha kell, elküldöm)

xc = c*m(c + m)

A derékszögű háromszögben

m = ab/c

ezt a számlálóba behelyettesítve egyszerűsítés után lesz

xc = a*b/( c + m)

Tehát a két négyzetoldal

xf = a*b/(a + b)

xc = a*b/(c + m)

Vegyük a két oldal hányadosát

q = xc/xf = (a + b)/(c + m)

Azt kell kideríteni, hogy a számláló és a nevező közül melyik a nagyobb illetve a kisebb.

Ezt eldöntendő vegyük a számláló és a nevező különbségét (k), vagyis

k = (a + b) - (c + m)

A zárójeleket felbontva

k = a + b - c - m

A derékszögű háromszögben

a + b - c = 2r

ahol

r - a beírható kör sugara

ezzel

k = 2r - m

A derékszögű háromszög geometriájából következik, hogy a beírt kör átmérője (2r) MINDIG kisebb az átfogóhoz tartozó magasságnál, azaz

2r < m

ill.

2r - m < 0

ezért

k < 0

vagyis

(a + b) < (c + m)

ezért

q = xc/xf < 1

ebből végül

xc < xf

======

Ezek után a válasz a feladat kérdésére: az oldalak nagyságából következően az 1) esetben leírt módon keletkező négyzet területe a nagyobb!

DeeDee

***********

DeeDee nagyon szép megoldását még meg kell "rágni". A végkövetkeztetése természetesen helyes:

[link]

Privát érdeklődésre adott egyik válaszomban említettem, hogy van a feladatnak egy elegáns geometriai megoldása is.

Talán más talál benne használható ismeretet, ezért közzéteszem itt is.

Egy rövid előtanulmány a továbbiakhoz: Két szakasz harmonikus közepe

[link]

A szöveges megoldásban írtam:

"2) eset

A levezetés mellőzésével (ha kell, elküldöm)

xc = c*m(c + m)"

A teljesség kedvéért itt van a levezetés és a szerkesztés menete:

[link]

Látod, hogy itt a trapéz módszert használtam, mert ebben az esetben ez könnyebben kivitelezhető.

Végül a bevezető mondatban említett geometriai bizonyítás, összhangban a szöveges levezetéssel:

[link]

DeeDee

**********