Miért π jön ki π/2 helyett?
Integrál sin(x)/x x=0 tól x=∞ ig.
Az integrált int el fogom jelölni, hogy egyszerűbb legyen.
Legyen I(a)=int(e^(a*x*i)/x)
Ekkor az eredeti integrált I(1) komplex része fogja adni.
I'(a)=i*int(e^(a*i*x))
Feltételeztük, hogy a<0, hogy a végtelenben az antideriváltja 0 legyen:
I'(a)=1/a*(0-1)
I'(a)=-1/a
Ebből:
I(a)=-log(a)+C
I(-∞)=0, hiszen 1/∞=0 (határérték)
I(-∞)=-log(-∞)+C
0=-(log(∞)+iπ)+C
C=log(∞)+iπ
Tehát:
I(a)=-log(a)+log(∞)+iπ
I(1)=-log(1)+log(∞)+iπ
Aminek a komplex része π.
válasza:Nem olvastam végig a teljes levezetést, mivel időm csekély, viszont szerintem az integrálási határoknál van gond.
Gyakorlatilag -végtelentől + végtelenig számolhattad ki.
Szimmetria miatt a féltérre pedig feleződik a kapott érték...
válasza:Nekem ez a legelsõ része, ami nem tetszik:
"
I'(a)=i*int(e^(a*i*x))
Feltételeztük, hogy a<0, hogy a végtelenben az antideriváltja 0 legyen:
I'(a)=1/a*(0-1)
"
Ugye a kitevõben a*i*x szerepel. Azt hiszem, amit itt csinálsz, az csak akkor mûködne, ha a*x szerepelne.
Vagyis x-szel végtelenbe tartva az e^(a*x) nullába tart, míg, az e^(a*i*x), azaz az antideriváltja az i*a*e^(a*i*x) -nek körbe körbe járkál, és nem tart semmihez x->végtelen esetén. (Úgy vetted, mintha 0-hoz tartana.)
De szerintem még néhány helyen lehet hogy invalid. Eleve pl a komplex logaritmus nem tetszik, vagy az, hogy felteszed hogy a<0, majd, a=1 esetben állítasz valamit.
(Nagyon nem néztem meg, azok a részek lehet hogy jók/jóvá tehetõk. Nem tetszik alatt most azt kell érteni, hogy én biztosan nem csinálnék ilyeneket)
válasza:Köszönöm, meg van a hiba!
"Vagyis x-szel végtelenbe tartva az e^(a*x) nullába tart, míg, az e^(a*i*x), azaz az antideriváltja az i*a*e^(a*i*x) -nek körbe körbe járkál, és nem tart semmihez x->végtelen esetén. (Úgy vetted, mintha 0-hoz tartana.)"
I(a)=int(e^(ix)/x*e^(ax))
I'(a)=int(e^(ix)*e^(ax))
I'(x)=int(e^(ix+ax))
I'(a)=1/(a+i)*(0-1)
I'(a)=-1/(a+i)
I'(a)=-(a-i)/(a²+1)
I'(a)=i/(a²+1)-a/(a²+1)
I(a)=i*tan^-1(a)-1/2*log(a²+1)+C
I(-∞)=0
C=-i*tan^-1(-∞)+1/2*log(∞²+1)
C=i*π/2+∞
Tehát:
I(a)=i*tan^-1(a)-1/2*log(a²+1)+i*π/2+∞
Az integrál értéke pedig I(0) komplex része:
I(0)=i*(tan^-1(0)+π/2)+(∞-1/2*log(1))
I(0)=i*π/2+∞
Tehát az integrál értéke π/2.
Így el lett kerülve a függvény oszcillációja a végtelenben, hiszen az e^(ax) nullához tart.
Tudom, hogy a ∞ használata az egyenletben helytelen, de sokkal egyszerűbb, mint határértékként kiírni mindenhova.
Köszönöm :)
válasza:Honnan van a módszer?
Könyvet vagy ilyesmit meg tudsz nevezni?
válasza:Ez nem egy komplett eljárás, hogy így határozz meg impropriusokat? Mármint, mindennel együtt. Nekem egységesnek tûnik.
Például hogy számítasz arra hogy I' -bõl ki fog esni az x, meg, hogy a logaritmus képzetes értéke "jó" lesz, stb. (A komplex logaritmus függvény többértékû, hiszen e^(0) és e^(i*2k*pi) ugyanúgy 1. Sõt, ez mindenképpen problémákat okoz.)
Úgy érzem, hogy valahol ki van dolgozva az egész eljárás, hogy nem lesz baj azokból a lépésekbõl, amikre én azt írtam, hogy veszélyesnek érzem. (a<0-val dolgozol, majd a=1-et helyettesítesz, meg, a logaritmusaid képzetes értékei nem csak mod 2pi, hanem ténylegesen jó eredményt adnak, stb.)
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!