Az n mely egész értékei mellett lesz az n^3-n-3/n-2 tört értéke egész szám?

Elvégzed a polinomosztást és megnézed azokat a tagokat amelyek nem mindig egészek. A polinomosztás így megy:

Az osztandód harmadfokú, az osztód elsőfokú, legmagasabb együtthatóik azonosak (1). Tehát a hányados úgy kezdődik, hogy n^2, ezt felírod. Visszaszorzod n^2-et (n-2)-vel, ami n^3 - 2n^2. Ezt kivonod az osztandóból hogy folytathasd az osztást a maradékon.

Az osztandó maradéka tehát 2n^2 - n - 3. Ez másodfokú, az együtthatója 2, tehát a következő tag 2n lesz, felírod. Visszaszorzod 2n-t n-2-vel, az 2n^2 - 4n. Kivonod az osztandó maradékából, így az új maradék 3n-3.

Ez elsőfokú, együtthatója 3, tehát a következő tag 3, felírod. Visszaszorzol, 3*(n-2) = 3n-6, kivonod a maradékból, új maradék 3. Azt már nem tudod hova osztani, tehát az osztott polinom utolsó tagja 3/(n-2).

A polinomosztás eredménye az egyes lépésekben felírt tagok alapján:

n^2 + 2n + 3 + 3/(n-2). Ezekből az első három mindig egész, az utolsó tagon múlik minden. Tehát a kérdés, hogy 3/(n-2) milyen n-ekre lesz egész, ami már nagyon egyszerű: (n-2) lehet 3, 1, -1 vagy -3. Tehát n lehet 5, 3, 1, vagy -1.

Vannak kétségeim a kifejezés értelmezésével.

Így, mindenféle jelölés nélkül a n³-n-3/n-2 azt jelenti, hogy:

n³ - n - (3/n) - 2

Ebben az esetben bármilyen n∈ℤ esetén: n³∈ℤ, n∈ℤ, 2∈Z, így elég azt vizsgálni, hogy a 3/n mikor egész. Nyilván ez n=±1 és n=±3 esetén lehet csak igaz, mert 3 prím, így maradék nélkül csak önmagával és 1-el osztható, így csak ezek, illetve ezek ellentetje esetén fog a 3/n kifejezés egész lenni.

Viszont ha a / jel törtvonal akart lenni eredetileg, akkor a szöveges átirat hibás, tört esetén szükséges zárójelezni a számlálót és a nevezőt. Tehát akkor most mi az eredeti egyenlet?

a) n³-n-3/n-2 , azaz [link]

b) (n³-n-3)/n - 2, azaz [link]

c) (n³-n-3)/(n-2), azaz [link]

d) esetleg valami egészen más?

Nem szükséges polinomosztással, van egy kicsit egyszerűbb levezetés is; cseréljük le a nevezőt egy másik ismeretlenre, legyen ez x, tehát n-2=x, ebből n=x+2 adódik, így ezt a problémát kapjuk:

((x+2)^3-(x+2)-3)/x, vagyis

((x+2)^3-x-5)/x

Ebben az a szép, hogy nem kell konkrétan kibontanunk a zárójelet, mivel a 2^3=8 tagot kivéve mindegyik tagban benne van az x-es szorzó, így azok oszthatóak x-szel. Amikkel még foglalkoznunk kell, azok a konstans tagok: 8-5=3, vagyis csak az a kérdés, hogy 3/x mikor lesz egész, ezt pedig tudjuk, hogy +-1 és +-3 esetén. Mivel n=x+2, ezért az ideális n-eket úgy kapjuk meg, hogy x helyére beírjuk az előbbi számokat, így kapjuk az -1, 1, 3 és 5 értékeket.

Természetesen hiányoznak a zárójelek. A probléma egyszerű:

(n^3-n-3)/n-2 = [n*(n^2-1)-3]/(n-2)=[n*(n-1)*(n+1)-3]/(n-2).

Jelöljük n=k+2, ekkor

(k+2)*(k+1)*k/k + 3/k = (k+2)*(k+1) + 3/k.

Itt az első tag mindig egész, azonban a második csak k=1 és 3 esetén. Tehát n=3 és n=5 a lehetséges értékek.

Kiegészítés: mindenekelőtt az utolsó képletben a 3/k előjele negatív.

És nyilvánvalóan k=-3 is jó, tehát n=-1 is megfelelő érték.