Miért pontosan egy felső határ tulajdonságú rendezett test létezik?

Ha rendezett a tested, akkor testként bele tudod ágyazni a racionális számtestet. Ha veszed ennek a lezártját a szuprémum-képzésre, akkor megkapod a valósakat (-nak a beágyazását) (a valós számtest definíciója szerint). Ha lenne a testnek egy olyan p eleme, ami nem valós (-nak a képe), akkor létezne egy olyan pozitív e racionális (képeként előálló) szám, hogy a (p-e,p) intervallumba nem esne semmilyen racionális szám (-nak a képe) (különben p egy szuprémum lenne, és mint ilyen, már benne lenne abban a halmazban, ami zárt a szuprémumképzésre). Ezért p vagy az összes racionálisnál nagyobb, vagy az összesnél kisebb (ha lenne nála nagyobb meg nála kisebb is, akkor hozzá alulról-felülről tetszőlegesen közel levő is lenne). Ekkor viszont p-nek nem tud lenni multiplikatív inverze. Ha lenne neki, akkor az inverznek is nagyobbnak (vagy kisebbnek) kellene lennie minden racionális számnál (különben az inverz inverze valós lenne, tehát nem p). Úgy viszont p-szer p inverz nem lehet az egység.

Ezzel azt láttad be, hogy az összes ilyen test izomorf. Jobbat nem is tudsz belátni, mert van belőlük sok, csak mind izomorfak.