Erre hogyan kell alkalmazni L'Hospital szabályt?

Elemi lépésekkel a függvény átírható ilyen alakra:

e^(ln(x)/ln(2x))

A kitevőben így végtelen/végtelen alakú függvényt kapunk, így lehet használni a L'Hospital-szabályt.

A törtet érdemes átírni ln(x)/(ln(2)+ln(x)) alakra, ebből már az is látható, hogy a deriváltak megegyeznek, így a hányadosuk 1 lesz, tehát a kifejezés a végtelenben e^1=e-hez tart.

Erre nem kell alkalmazni!

Kiábrándító, hogy az 1-es válaszoló levezeti az lnx/(ln2+lnx) alakot, és mintegy ágyúgolyóval galambra lövéses módszerrel elkezd deriválni.

És nem tűnik fel neki, hogy lnx-el bővítve a törtet 1/(1+1/végtelen) alak adódik, amiből triviális, hogy 1 a tört határértéke...

"Kiábrándító, hogy az 1-es válaszoló levezeti az lnx/(ln2+lnx) alakot, és mintegy ágyúgolyóval galambra lövéses módszerrel elkezd deriválni."

Leírom lassan, hogy te is megértsd; a kérdés a következő volt:

[Erre hogyan kell alkalmazni L'Hospital szabályt?]

Én erre adtam választ. Az pedig túlzás, hogy elkezdtem deriválni; csak annyit mondtam, hogy ránézésre látható, hogy a derivált ugyanaz lesz, így hányadosuk is 1 lesz. Például ha a kitevő számlálójában tg(log(sin(e^x^x^x^x)))^x^x^x, nevezőjében tg(log(sin(e^x^x^x^x)))^x^x^x+8 lenne, akkor se kezdeném el a deriválást, hanem arra hivatkoznék, hogy ugyanaz lesz a derivált. Itt is ez van.

Persze az is igaz, hogy ha ln(x)/ln(2x) alakban hagyjuk a kifejezést (mert valami csoda folytán nem ismerjük az idevágó azonosságot), akkor nagyobb létjogosultsága van a L'Hospital-szabálynak.

"És nem tűnik fel neki, hogy lnx-el bővítve a törtet 1/(1+1/végtelen) alak adódik, amiből triviális, hogy 1 a tört határértéke..."

Ha úgy teszünk, ahogy mondtad, akkor ln^2(x)/((ln(x)*ln(2)+ln^2(x)) lesz belőle. Én nem látom, hogy ebből hogyan következne egyenesen az 1/(1+1/végtelen) alak...

Vagy esetleg mondjam azt, hogy nem tudod megfelelően használni az általános iskolás kifejezéseket, és mit keresel itt? ...

Értem én, de egy ilyen egyszerű feladatnál barbárság a L'Hospital szabály alkalmazása. Nem erre találták ki, nem ez az a példa, ahol "ütős".

Olyan határértékes kifejezésekre találták ki a L'Hospital szabályt, amelyeknél tényleg nagyon körülményes a nélküle való feladatmegoldás (pl. csak bonyolult alakú, nem triviális majoráns és minoráns bevezetése vezet célre) vagy nem is lehetséges.

Ja, és úgy értettem, hogy lnx reciprokával bővítünk, ez a legegyszerűbb megoldás.

Persze aztán elég sok példára rá is lehet erőszakolni valamilyen módszert.

Pl. a kérdésbeli feladatot át lehet alakítani akár úgyis, hogy lim[1+1/ak]^ak alakú legyen.

Ez annak előnyös, aki szereti a sablonos megoldásokat, és jól tudja alkalmazni a középiskolai algebrai és hatványozási ismereteket.