Hogy lehet hogy a pí irracionális? Hiszen miutan a kor pontjaira ratettuk 3× az atmerot, akkor marad az a 0.16os resz. De az hogy lehet irracionális?

Mi az a "0.16os resz"?

Az irracionális nem azt jelenti, hogy végtelen hosszú lenne, hanem azt, hogy az a maradék hossz nem írható fel két egész szám hányadosaként, például 2/9. Ez egy racionális szám, ráadásul végtelen sok számjegyet tartalmaz a tizedes tört alakja (0,222...). Vagy egy szakasz hossza 2/9 sem lehet, mert nem végtelen hosszú?

Tisztázzunk pár dolgot:

- A végtelen tizedestört és az irracionális szám nem ugyanaz. Pl. az 1/3 = 0,333... végtelen tizedestört, de nem irracionális.

- A végtelen tizedestört nem azt jelenti, hogy maga a szám végtelen. Pl. az 1/3-nál (0,3333...) nagyobb a 0,34.

Ha fel akarsz rajzolni egy 1/3 hosszú szakaszt, akkor az a 0,33-nál hosszabb lesz, de a 0,34-nél rövidebb, tehát nem végtelen hosszú lesz.

A számegyenesen sokkal több hely van, mint amennyi racionális szám van. Gondolj bele, a négyzet átlóját is lemérheted, de az is irracionális.

Az irracionális számok nem írhatók fel periodikus tizedestörtként. Gondolj bele, hogy mennyivel több van belőlük, mint a racionális számokból, amelyeknél megkötés, hogy periodikusak legyenek! Igazából az lenne a furcsa, ha a pi racionális lenne.

Az alábbi bizonyítás tartalmaz néhány olyan függvényt, amiről te nem tudhatsz, ha nem tanultatok még trigonometriát.

[link]