2n egymást követő egész szám között legfeljebb hány olyan lehet, amely osztható az n+1, n+2, …,2n számok közül legalább az egyikkel?

Pontosan n db.

Gondolj bele: n+1, n+2... 2n-nel csak az n utáni számokat tudod elosztani, sőt, az n utáni számok mindegyikét el tudod osztani, pontosan egy számmal, a párjával. (Pl n+1et n+1-gyel)

Hogy miért? Elmondom: pl. 2n-et el tudnád osztani 2n-nel, n-nel, és 1-gyel. Viszont n-nel és 1-gyel nem oszthatjuk, mert nincsenek n+1 és 2n között. Ugyanez érvényes n+1től egészen 2n-1ig, ezek a számok már csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók, de ugye az 1 nincs bent a halmazodban (n+1 - 2n).

Tehát ugye n+1 már osztható a halmazodban (n+1 - 2n) levő egyik számmal (n+1gyel), 2n pedig még osztható (2n-nel).

Tehát n és az alatta levő számok már nem oszthatók egyikkel sem, így 2n-ből kivonok n-et, és bumm: pontosan n szám osztható a halmazodban levő számokkal.

A helyzet sajnos ennél bonyolultabb... :(

Senki nem mondta ugyanis, hogy pozitív egészekről van szó; az előző kommentelő meg ezt természetesnek vette..

Mondom is az én példámat: -3,-2-1,0,1,2.

Ez 6 egymást követő egész szám, tehát n=3. Namármost az 1 oszt ezek közül mindenkit (ez 6 db szám) és az 1 nyilván benne van az {n+1,n+2,...,2n} halmazban, sőt, még a kettőt nem is vettük, így ez jóval több mint 3 sajnos...

Nos a 3. válaszadónak tényleg igaza van.

Ami azt jelenti, hogy (mivel azt nézzük, hogy LEGFELJEBB mennyi oszható abból 2n db számból, és a példájában az összes szám az volt) legfeljebb 2n db osztható, tehát az összes.

Ez ugye akkor fordul elő, ha az n+1edik és 2n-edik szám között az 1 is ott van, ugyanis az mindent képes osztani.