Mennyivel lesz sűrűbb k db egymáshoz közeli véletlen szám szorzata középen, mint átlagban?

Nehéz feladat.

Amit tudunk hogy minden számnak egyenlő esélye van kiválasztás során, végtelen sok (ráadásul kontinuum végtelen) számunk van a számegyenesünk azon intervallumán ahol kiválasztunk, tehát egy adott számnak nulla esélye van hogy kiválasztásra kerül, de mégis bekövetkezik véletlenszerűen bizonyos számoknál. Hiszen ebben az eseménytérben az összes nulla valószínűségű esemény összege pontosan egy. Ezen alapdolgok letisztázása során onnan érdemes nekiindulni, hogy mint említettem bármely szám kiválasztásának valószínűsége pontosan nulla, e helyett vegyük azt hogy ennek az 1-ε-tól 1+ε -ig tartó intervallumnak valahanyad részéből való kiválasztás esélye már több mint nulla. Azt nézzük meg hogy melyik intervallumba mennyi eséllyel kerülnek bele a számok. Tudjuk ha m egyenlő intervallumra ( ahol m ∈ {1,2,3,4 ...}) osztjuk az intervallumot, akkor egy intervallumba lévő előfordulási valószínűség 1/m. Vagyis Közelíthető intervallumokkal, ahol m minél nagyobb a közelítés precizitása annál finomabb. Intervallumok helyett átfogalmazható úgy hogy véges sok m darab elemből álló egymástól egyenlő távolságra lévő számaink vannak. Innen áttérve k>=2 kis egész k darab 1-ε és 1+ε intervallumbeli véletlen szám szorzatból nyert szám valószínűségére, közelíthetjük numerikusan a folytonos esetet diszkrét esetre ahol m darab szám közül választunk ki. Vagyis m darab szám közül k darabot visszatevéssel választunk ki. Mivel m darab szám mindegyike egymástól független esemény, egy húzáskori esélye 1/m, ezért k darab szám szorzatából nyert számok esélye úgy jön ki, hogy az összes lehetséges szám-k-sok (vagyis k darab számból álló vektor) előfurdulási eseményének összege 1. Az hogy melyik szorzat hányféleképpen jöhet ki az 1-ből olyan arányú valószínűséggel osztozik. Minél több egyelő távolságra lévő számokkal töltjük fel az intervallumot vagyis minél finomabb a diszkrét eset annál jobban közelíti a folytonos esetet ahol már kontinuum sok szám van. Numerikusan közelíthető géppel, hogy az összes szám-k-sokat bejárjuk és képezzük a szorzatukat és számoljuk hogy melyik szorzat hányszor fordult elő.

Aztán lehet ilyen grafikonokat gyártani belőle, ahol nem csak találomra vannak berakva a pöttyök, hanem mögötte temérdek számítás van:

Az eps az epsilon érték , prec a felbontás finomsága. Az értékek át vannak normálva, úgy hogy amiből a legtöbb van azt veszem 1-nak, a többi meg arányosan kisebb. Ha lesz egy másik amiből több lett mint a durvább felbontásnál, akkor értelem szerűen összenyomja a grafikont úgy hogy a csúcs mindenképp egy lesz. Az oldal lerontotta a file neveket, ezért mellé írom itt

k=4-re:

k=4_eps=0.001_prec=1.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=2.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=3.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=4.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=5.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=10.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=15.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=20.png [link]

k=4_eps=0.001_prec=30.png [link]

k=5-re:

k=5_eps=0.001_prec=1.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=2.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=3.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=4.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=5.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=10.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=15.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=20.png [link]

k=5_eps=0.001_prec=30.png [link]

A képek letölthetők itt:

[link]

Ilyen számításokat lehet futtatni napestig.