Milyen függvényeknek van inverze?

A bijektíveknek.

Legyen f:A --> B függvény.

f injektív, ha minden különböző x,y eleme A esetén f(x) és f(y) különbözik.

Azaz különböző Abeli elemekhez különböző Bbeli elemeket rendel.

f szürjektív, ha minden y eleme B esetén létezik x eleme A hogy f(x) = y.

Azaz B minden eleme előáll képként.

Ha egy függvény injektív és szürjektív, akkor bijektívnek nevezzük ---> invertálható, azaz létezik g: B -->A úgy hogy g = f^(-1)

Ha nagyon egyszerűen és pongyolán akarok fogalmazni, akkor azt lehet mondani, hogy a függvény az amikor az értelmezési tartomány minden eleméhez hozzá van rendelve az értékkészlet egy! eleme.

Na most, ekkor még az értékkészletből egy elemet többször is fel lehet használni például a konstans függvény (vízszintes egyenes, az értékkészlet 1 elemű) vagy periodikus függvények esetében (sin). De ezek már nem invertálhatóak mert az inveznél az lesz hogy az értelmezési tartomány legalább egy, vagy több eleméhez több elemet is kellen rendelni ami már nem függvény.

Ezért valami olyasmit lehet mondani hogy az invertálás kivezet a függvény forgalomból. De ezt órán ne mondjad csak tarts a fejedben mert ez csak a megértést segíti.

Általánosan igaz, hogy minden függvénynek van inverze, ugyanis az inverz nem más, minthogy az adott hozzárendelések irányát felcseréljük. Az egy teljesen más kérdés, hogy az invertálással kapott reláció függvény-e vagy sem.

Ahhoz, hogy a függvény inverze is függvény legyen, az kell, hogy kölcsönösen egyértelmű legyen, vagyis minden őshalmazbeli elemhez pontosan egy másikat rendelünk, és minden képhalmazbeli elem pontosan egy másikhoz van hozzárendelve.

Nemrég volt egy olyan kérdés, hogy a {}->{} hozzárendelés függvény-e, elvégre nincs olyan eleme, hogy ahhoz pontosan egy elem lenne hozzárendelve (mivel nincs eleme), mégis az a válasz, hogy függvény. Ha magát a kölcsönösen egyértelműség definícióját (ekvivalensen) átfogalmaznánk, akkor egyértelműen kiderülne, hogy ez a hozzárendelés is függvény, mivel nincs olyan elem, ami sértené a feltételeket, emiatt ez is függvény. Sőt, még az inverze is függvény lesz.

Vannak függvények, mint például az x^2 vagy a sin(x) függvény, amelyek inverzét úgy képezzük, hogy az eredeti függvény értelmezési tartományát megszorítjuk úgy, hogy az inverz is függvény legyen. Ezzel persze nem az eredeti függvény inverzét kapjuk meg, de úgy szoktunk rá hivatkozni, kissé tévesen; például az x^2 függvény inverze a gyök(x), ahol x>=0, a sin(x) függvény inverze arcssin(x), ahol -pi/2<=x<=pi/2.

Az előző válasz első mondata hamis. Ennek oka a fogalom pongyola értelmezése, továbbá egyes tulajdonságainak összekeverése.

A függvény definíció (értelmezés) szerint egy olyan leképezés, ahol egy halmaz (az értelmezési tartomány) minden eleméhez egy másik halmaz (értékkészlet) pontosan egy elemét rendeljük.

A függvények halmazának egy valódi részhalmaza azon függvények összessége, ahol az értelmezési tartomány minden eleméhez az értékkészlet pontosan egy elemét rendeljük úgy, hogy ha x ≠ y, akkor f(x) ≠ f(y) is teljesül.

Az ilyen függvényeknek van inverzük, hiszen az az előbbi értelmezési tartomány és értékkészlet között egy-egy értelmű megfeleltetés van, tehát a megfeleltetés fordítva is lehetséges.

Megjegyzendő még, hogy példaként nyilván egy zárt alakú (egyenlettel felírható) függvényeket szoktunk hivatkozni, de természetesen számos (inkább számtalan) olyan függvény van, amelyet leírni - érthetően - tudunk, de zárt alakban megadni nem.

Azt mondjuk hogy egy f:X-->Y (halmaz-halmaz) függvénynek van inverze, ha Set-ben izomorfizmus, azaz van olyan g:Y-->X függvény, amelyre g(f(x))=Id_X, és f(g(y))=Id_Y. Ha létezik ilyen g, akkor egyértelmű.

Például ha X,Y véges halmazok, akkor az inverz létezéséhez egy szükséges feltétel, hogy X és Y azonos elemszámú legyen. Ha eltérő elemszámúak, akkor a két feltétel közül nem teljesülhet mindkettő.

Ha erre a matematikai fogalomra kérdeztél rá, akkor ez a definíció, és pontosan ez a feltétele. (Illetve: elég az, hogy a függvény injektív és szürjektív is legyen, ez egy egyszerű állítás.)

Ha csak invertálni szeretnéd a függvényeidet, akkor azt akármilyen függvénnyel megteheted, de az eredmény nem lesz függvény. Például ha a függvényt relációnak/digráfnak fogod fel, akkor a nyilakat megfordítva kapsz egy valamit -- #3 erről ír. (Mit kapunk? Páros digráf? Parciális multifüggvény?)

(OFF: szerintem soha nem lehet tudni, hogy a kérdező a felhasznált szavakat mint szakszavakat használja-e, vagy van valamilyen kérdése, és nem tud arról hogy valakik lefoglalták már a szavait, és valami tök más jelentést rendeltek hozzá. A legjobb mindig jelezni a válaszban hogy a kérdésben szereplő szavakat szakszavaknak vagy magyar szavaknak tekintjük.)

Bocsánat, összekutyultam 2 jelölést.

Javítom a definíciót, legyen mondjuk így:

g(f(x))=x, minden x X-beli elemre, és

f(g(y))=y, minden y Y-beli elemre.