(-1) n-edik gyökeire a komplex számok halmazán igaznak kell -e lennie az alábbi feltételezésnek? A képzetes egység (i, v. -i) csak úgy teljesítheti a gyökvonás műveleti elvárásait, ha polarizálhatósága a műveleti számossággal megegyező és határozott
Azt feltételezem, hogy az imaginárius egység műveleti szempontból csak úgy teljesítheti a gyökvonás komplex számok halmazán megfogalmazott elvárásait, ha önmaga mindig új, az előzőektől különböző polaritást vesz fel.
Ebből következik az a feltételezés is, hogy páratlan "n" esetén ez csak korlátosan értelmezhető.
Összefoglalva a feltételezést:
(-1) n-edik gyökére n számú megoldás csak akkor értelmezhető, ha teljesül az a feltétel, hogy i egymástól minden egyes esetben különböző polaritásainak száma (beleértve az alap i és -i(?) esetet is) éppen "n", és a polaritások ugyanakkor pontosan "n/2" számú negáltpárként írhatóak fel.
válasza:Jaj, kár volt neked felhozni a komplex számokat...
A komplex számok elmélete már nagyon régóta jól ki van dolgozva, már Gauss is foglalkozott velük (aki azért értett is hozzá, nem csak mindenféle jól hangzó kifejezést dobott be), szóval az alapokat már nem kell újra feltalálni.
Ahogy a múltkor írtam, ajánlom figyelmedbe Moivre képletét a hatványozáshoz, ugyanez a képlet használható a gyökvonáshoz is. Egyébként azt is tudjuk, hogy az n-edik egységgyökök (vagyis azok a z számok, amelyekre z^n=1 teljesül) szép katonás rendben helyezkednek el a komplex számsíkon, egy szabályos n-szöget kiadva, melynek forgásközéppontja az origó, egyik csúcsa pedig az 1+0i szám. Szóval az ennedikgyök(1)-nek pontosan n megoldása van MINDEN KÖRÜLMÉNYEK KÖZÖTT, ugyanez igaz a (-1) ennedik gyökeire is.
válasza:> Azt feltételezem, hogy az imaginárius egység műveleti szempontból csak úgy teljesítheti a gyökvonás komplex számok halmazán megfogalmazott elvárásait, ha önmaga mindig új, az előzőektől különböző polaritást vesz fel.
Mit jelent pontosan az, hogy „polaritás”? És mit jelent pontosan az, hogy „elvárás”?
~ ~ ~
Ugye a hatványoknak pozitív egészekre van egy jó érthető definíciója. Az n-dik hatvány nem más, mint n darab egymást követő azonos szám szorzata:
7⁵ = 7*7*7*7*7
Ebből – meg a szorzás kommutatív és disztributív jellegéből – aztán következnek mindenféle összefüggések. Pl.:
a^n * b^n = (a*b)^n
a^n * a^m = a^(n+m)
(a^b)^c = a^(b*c)
stb…
Itt jön a permanenciaelv.
Ki akarom terjeszteni 0 kitevőre a hatványozást? Használjuk ki a fenti összefüggéseket:
a^n = a^(n+0) = a^n * a^0
Innen adódik, hogy:
a^0= a^n / a^n = 1.
Ki akarom terjeszteni negatív számokra?
a^n = a^(n-m+m) = a^n * a^(-m) * a^m
Innen:
a^(-m) = a^n/a^n/a^m = 1/(a^m)
Ki akarom terjeszteni racionális számokra?
a = a^1 = a^((1/n)*n) = (a^(1/n))^n
Innen:
ⁿ√a = a^(1/n)
Innen lehet eljutni aztán oda, hogy:
a^(m/n) = ⁿ√(a^m)
~ ~ ~
A komplex számok esetén ugyanígy kell eljárni, a permanenciaelv alapján kell értelmezni a komplex számok nem egész hatványait. És ehhez jön kapóra a #1 által is emlegetett De Moivre-képlet. Ha azzal kiszámolod -1-nek a harmadik, negyedik, ötödik gyökét, és ezt használva vizsgálod a hatványozás azonosságait, akkor a hatványozás azonosságai ugyanúgy fennállnak. Meg persze meg kell érteni a komplex számok exponenciális alakját.
Legyen ||i||= +1 (azaz "i" feltételezett abszolút értéke polaritásfüggetlenül +1)
Végezzünk polaritásvizsgálatot az alábbiak alapján:
Vizsgáljuk "+1" harmadik gyökei közül a 2 komplexet. Az egyszerűség kedvéért jelöljük őket "x"-nek és "y"-nak. A következő azonosságok teljesülnek:
x²=y, illetve y²=x, amiből x²/y=+1 illetve y²/x=+1 következik, továbbá, hogy x*y=+1, ahol polaritás szempontjából "x" és "y" homogén (azonos polaritású) kell, hogy legyen. Ebből következik, hogy amennyiben x/y értelmezhető, annak homogenitása a szorzatéval azonos (ez a 2 művelet jellegéből következik, pl. az osztás felírható inverz szorzásaként, a lényeg, hogy a polaritás szempontjából azonos hatást gyakorolnak a tagokra).
Ha elfogadom, hogy ||i||=+1, és ||négyzetgyök(+3)|| > +1, akkor (visszatérve az általános "a+b*i" alakhoz) a konkrét esetben teljesül ||a|| < ||b*i|| mindkét komplex gyökre (ezt "||négyzetgyök (+3)||" garantálja, egész pontosan egynél nagyobb értéke biztosítja). Ez esetben viszont, ha létrehozom "x/y"-t (létezése nem kizárt), annak polaritás szempontjából a fentebbiek ismeretében szintén egyneműnek kell lennie.
Tehát (mivel "a" és "||b*i||" az adott esetben azonos):
"(a-b*i) / a+b*i" kifejezésnek polaritás szempontjából a vizsgált esetben egyneműnek kellene lennie (kb. a tagok azonos előjelűségének kellene teljesülni). Látjuk, hogy "i" polaritásának meghatározása nélkül ez a feltétel nem teljesülhet (ez annyira triviális, mint pl. (+1) hatodik gyökei azonosak (+1) és (-1) harmadik gyökeivel).
Ezek után meg tudná nekem valaki határozni "i" polaritását? Minden segítséget elfogadok, nekem ugyanis csak a "jellegét" sikerült.
(megj.: a dupla abszolútérték-jel használat csupán az esetlegesen feltételezhető, az eddigiektől eltérő polaritások abszolútizálására szolgál. Tatyesz millió köszi.)
#2
2*Sü polaritás számomra az a meghatározó tulajdonság, ami alapján egy számot (akár előjelezés útján) minősíthetek, egy adott csoportba sorolhatok, a vele végezhető műveletek szempontjából jellemezhetek. Elvárás: egy adott feltételrendszerben elvégzett művelet eredményes teljesíthetőségének feltételezése.
Megkérdeztem korábban, hogy mit jelenthet a "feltételesen létező" , illetve "feltételesen létezővé tehető" fogalma. Amennyire emlékszem, érdekes módon senki sem hozta fel az egyik legkézenfekvőbb példát, az imaginárius egységet. Pedig ez az egyik legjobb példa rá.
Feltételesen létező: "i", ahol a feltétel, ami létezővé teszi: "i²=(-1)". Ha ezt a feltételt elfogadom "i" számomra létezővé válik. Csakhogy ezzel létrehozok egy új polaritást (előjele legyen pl. @) is (és ezzel együtt az ennek megfelelő számcsoportot is) "i" tekintetében, amelynek teljesítenie kell (általánosítva) a @a*@a=-(a²) feltételt. Mivel azonban az így létrejövő számcsoportok gyakorlatilag kezelhetetlenek lennének (ezért fontos amit az exponenciális alakról mondtál), már csak azért is, mert az egymástól eltérő polaritások száma a 2 hatványai szerint növekedne, a komplex számok zsenialitását éppen az adja, hogy a polaritásváltozásokból adódó problémát sikerült az "i" egységbe "csomagolnia". Így a komplex számok polaritásprobléma nélkül alkalmazhatóak, az csak az "i" esetében jelentkezik, ott viszont többnyire kezelhető.
De kimutathatóan ott van.
Valójában ez az egész inkább filozófiai probléma, mint matematikai. Természetesen a polaritásproblémának lehetséges egy alternatív megoldása (ennek ismerete alapján találtam meg magát a problémát ilyen gyorsan).
#1
Mivel én nem vagyok matekzseni, elég nehéz lesz úgy megfogalmaznom a dolgot, hogy te is megértsd.
Képzeljük el hogy felülről szemléled a dolgokat (általános jellemző, ha ismerünk valamit, mind így teszünk), és az asztalon kiterítve (egy gyönyörű, átlátszó rajzpapíron) ott van előtted a komplex számsík, sima mezei síkként kiterítve, rajta pedig az n-edik gyököket tartalmazó n-szög. Ha azonban a kérdésfelvetésben igazam van, akkor "i" folyamatosan változó polaritása minden egyes csúcsot egy másik rajzlapra rajzol fel (aminek a metrikája csak abban fog különbözni az előzőektől, hogy a tengelyek jelölése változik, azaz +- helyett pl. @ és @negált, & és &negált stb. lesz). Pontosan annyi rajzlap lesz, ahány csúcsod van, de mivel te az átlátszó lapokat felülről szemléled, neked az egész egy egységes képnek fog tűnni a kezdő metrikán (+- tengely). Alapjában véve (ha nem törekszünk tudásunk teljességére) ez nem olyan nagy baj. A komplex számok így is remekül alkalmazhatóak. Rajzolgathatunk csak a legfelső lapra is, nem is kell tudnunk az alatta levőkről.
Matematikai alapokon igyekeztem tenni az észrevételeimet, úgyhogy tetszés szerint megcáfolhatod őket. Az, hogy ezzel a kérdéssel (ismereteim szerint) még nem foglalkoztak, nem az én hibám. Amennyiben mégis, és ugyanerre jutottak, nekem annál jobb. (tudod az együgyűek boldogsága)
válasza:"(-1) n-edik gyökére n számú megoldás csak akkor értelmezhető, ha teljesül az a feltétel, [...]"
Már az alapfeltevésed is rossz. Értem én, hogy valami új dolgot akarsz feltalálni, csak az a baj, hogy még fel sem találtad, de már messzemenő következtetéseket akarsz levonni.
Nem kell matematikusnak lenned, hogy az általad kreált dolgokat definiáld. Na, ha ez megvan, akkor lehet beszélni bármi másról ezzel összefüggésben.
#6
Azért megpróbálnád értelmezni és érdemben megcáfolni? Nagy segítség lenne!
válasza:Mivel azt sem értem, hogy mit értesz alatta (definiálni meg nem definiáltad), ezért nem tudok rá érdemben reagálni.
Valami olyasmire gondolnék, hogy felveszed a komplex számsíkot, jelölöd rajta a pontokat, ezután a komplex számsíkba rajzolsz még két merőleges tengelyt (közös pontjuk az origó), és azon nézed, hogy a pontok az újra berajzolt tengelyek melyik oldalán vannak.
válasza:> 2*Sü polaritás számomra az a meghatározó tulajdonság, ami alapján egy számot (akár előjelezés útján) minősíthetek, egy adott csoportba sorolhatok
Oké, de hogy? Milyen polaritásokat definiálsz? Mi mondjuk ezeknek a polaritása?
1 + i
1 - i
-1 + i
-1 - i
Megy úgy általában mi egy (a+bi) polaritása? Milyen halmazból vesz fel értékeket ez az általad használt polaritás?
Mert ahogy érzem te az előjel analógiáját akarod áthozni a komplex számokra, de az előjeleknek a valós számokra érvényes összefüggéseit akarod erre ráhúzni. Ez így kicsit fából vaskarika számomra.
#9
2*Sü elárulnád nekem, hogyan határozható meg "a+b*i" polaritása (vagy tetszés szerint előjele) "i" polaritásának ismerete nélkül? Illetve a halmazt hogyan határozhatnám meg, ha nem ismerem "a+b*i" polaritását?
Az egyértelmű, hogy "i"-t pont egy polaritásprobléma hozta létre (negatív számból a valós számok halmazán nem lehet páros számú gyököt vonni), ugye?
A példádban (a két hagyományos polaritása értelmezve):
Pozitív
Nincs
Nincs
Negatív
Mi a véleményed a #3—ban kimutatott polaritás-anomáliáról a harmadik komplex gyökök tekintetében?
Bocs 2*Sü, de többet erről nem árulhatok el, egyszerűen túl intelligens vagy. (ezt szeretném megtartani magamnak, és van rá esély, hogy te is kitaláld)
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!