Hogyan lehet szerkeszteni csak ceruzával, körzővel és vonalzóval gyök 3 hosszú szakaszt?

A gyök(3) esetén könnyű dolgunk van, mert elég csak a fenti derékszögű háromszöget megszerkeszteni, de más szám esetén nem biztos, hogy ilyen egyszerű dolgunk van. Általánosságban véve gyök(n) hosszú szakasz, ahol n egész, a következő módon szerkeszthető:

-Vegyünk fel egy (n+1) hosszú szakaszt. Ezen a szakaszon jelöljük az n és az 1 hossz határát, ez legyen a P pont.

-Ezután szerkesszünk egy (n+1) átmérőjű félkört.

-A félkörben állítsunk merőlegest az átmérő P pontjában. Ez a merőleges metszi a félkörívet, ez legyen a Q pont.

-A PQ szakasz hossza pontosan gyök(n) hosszúságú lesz.

Magyarázat: Thálesz tétele miatt tudjuk, hogy ha egy köríven kijelölünk egy pontot és összekötjük a kör átmérőjével, akkor mindig derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a kör átmérője. A PQ szakasz ennek a háromszögnek az átfogóhoz tartozó magassága.

A derékszögű háromszögre vonatkozó magasságtétel szerint tudjuk, hogy az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót két részre osztja, és ezen részek mértani közepe lesz a magasság hossza, esetünkben a részek hossza 1 és n, ezek mértani közepe gyök(1*n)=gyök(n), és ezt akartuk elérni.

A gyök(3) esetén egy 1+3=4 hosszú átmérőjű kört rajzolunk, ebben merőlegest állítunk az átmérőre az 1 és 3 határpontjban, ez metszi a körívet, és az így keletkező, az átmérőre merőleges szakasz hossza gyök(1*3)=gyök(3) hosszú lesz.

tg(60 fok) = gyök(3)

[link]

[link]

[link]