Hogyan kell a legegyszerűbb geometriai állításokat bebizonyítani?

Hát azért #1... Ezek messze vannak a trivialitástól. :D

Az első két állítás a tengelyes tükrözés tulajdonságaiból adódik.

A harmadik állítás, na ha valami, akkor ez messze áll a tirviálistól, arról van szó, hogy egymásba nem nyúló, mérhető halmazok mértéke megegyezik a halmazok mértékei összegével. Mivel a területet mértékként (Jordan-mértékként vagy Lebesgue-mértékként, nem ugyanaz a kettő, de itt most nem fontos) értelmezzük, az állítás adódik: az egyenes a mérhető síkidomot két, egymásba nem nyúló, mérhető halmazra osztja (ez pl. a Jordan-mértéknél a határ nullmértékűségéből adódik), ezért kapjuk az állítás.

Tényleg triviális. Csak éppen azokat a legnehezebb megmagyarázni, mert mit mondjon az ember arra, ami számára nyilvánvaló. De aki kérdezi, annak esetleg nem.

Vegyük visszafelé.

A terület egy geometriai fogalom. A vágás egy algebrai művelet megfelelője. Tisztán szavakkal leírni egy axiómarendszerből levezetve egy többszörösen származtatott dolgot, az egy értekezés tárgya lehet, de ide nem fér sem térben sem időben. Viszont ha azt belátjuk, hogy pusztán egy vágás nem tud terület változtatni, mert ahhoz egy másik darab is kell, akkor nyertünk. A vizuális megfelelője az, hogy ha nem lenne az összerakott az eredetivel egyforma, akkor vagy kisebb, vagy nagyobb a kettő. Ha nagyobb, honnan szedtem a pluszt, ha kisebb, hová dugtam? Csak két művelet volt, a vágás és a visszaillesztés. Melyik művelet okozta az eltérést? - ez az indirekt bizonyítás egy válfaja.

Kör. Definíciója szerint egy ponttól azonos távolságokra lévő pontok összessége. Az az egyenes, ami átmegy a középponton, e definíció miatt csak egyenlő részekre bonthatja a kört. A kettévágott félköröket egymásra borítva ugyanis minden pontnak megfelel egy a másikon és viszont, nem marad ki egy sem egyikből sem. Ez az egyenlőség definíciója.

Felező merőleges. A merőleges szakaszt metsző pontjára azért igaz, mert direkt így csináltuk. Vegyük sorra a többi pontot. Két eset van. Vagy minden pont azonos távolságra van (ekkor kész), vagy nem. Vegyünk egy ilyent. Ha ez önálló pont (azaz bármely környezeti pontra viszont igaz az egyenlőség), vagy van olyan is, ahol egy egész sor pont mind más értéket ad, akkor az az egyenes nem egyenes, mert az egyenesnek ez a definíciója. Kivéve ha az V. axiómát például a Bolyai gondolat szerint tekintjük, ekkor viszont nem az euklideszi geometriában vagyunk és ott mások a szbályok (itt le nem írhatóan).

Még egy fontos dolog. Ezek a logikai polémia esetei. Azaz, felvet valaki egy mindenki számára nyilvánvaló állítást, a bizonyítást igényli. Jogos, megkapja. lehet ellenőrizni, minősíteni. Kétségbe vonni, de itt már feltétel van, mégpedig egyensúlyi feltétel. Tessék megmondani, mi téves benne. Vagy mi nincs megmagyarázva. Pontosan, érthetően, felfoghatóan. ellenkező esetben borult az egyensúly, az pedig (az ilyenkor) vitának minősülő cselekmény feltétele. Különben nem vita, hanem kötözködés.

#6

Az átmérö egy szakasz.

Az eukleidészi geometria levezetései nincsenk meg valami nagykönyvben?

Persze az axiómákra ott is csak annyit lehet mondani, hogy "triviális"

Ha mindenre gondolsz, az nincs. Kicsit nehéz lenne könyv formájában.

Ha a fő kérdésekre, akkor Hajós György: Bevezetés a geometriába. Ez egy egyetemi tankönyv volt az 1960-as években és nem tudok jobbat.

Az "axióma" jelentése éppen az, nyilvánvaló, triviális, mindenki számára egyértelmű (én hozzáteszem, aki hajlandó gondolkodni).